Статистика Бозе – Эйнштейна - Bose–Einstein statistics

В квантовая статистика, Статистика Бозе – Эйнштейна (B – E) описать один из двух возможных способов, которыми совокупность невзаимодействующих, неразличимых частицы может занимать набор доступных дискретных энергетические состояния в термодинамическое равновесие. Агрегация частиц в одном и том же состоянии, которая является характеристикой частиц, подчиняющихся статистике Бозе – Эйнштейна, объясняет когезионное течение свет лазера и ползание без трения сверхтекучий гелий. Теория такого поведения была разработана (1924–25) Сатьендра Нат Бос, который осознал, что таким образом можно распределить совокупность одинаковых и неотличимых частиц. Позднее идея была принята и расширена Альберт Эйнштейн в сотрудничестве с Bose.

Статистика Бозе-Эйнштейна применима только к тем частицам, которые не ограничиваются однократным заселением одного и того же состояния, то есть к частицам, которые не подчиняются Принцип исключения Паули ограничения. Такие частицы имеют целые значения вращение и названы бозоны, после статистики, которая правильно описывает их поведение. Между частицами также не должно быть значительного взаимодействия.

Сравнение средней занятости основного состояния по трем статистическим данным

Распределение Бозе – Эйнштейна

При низких температурах бозоны ведут себя иначе, чем фермионы (которые подчиняются Статистика Ферми – Дирака ) таким образом, что неограниченное количество из них может «конденсироваться» в одно и то же энергетическое состояние. Это явно необычное свойство также приводит к особому состоянию материи - Конденсат Бозе – Эйнштейна. Статистика Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна применима, когда квантовые эффекты важны, а частицы "неотличимый ". Квантовые эффекты возникают, если концентрация частиц удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {N}{V}}\geq n_{q},}$

где N - количество частиц, V объем, а п_q это квантовая концентрация, для которых межчастичное расстояние равно тепловая длина волны де Бройля, таким образом волновые функции частиц практически не перекрываются.

Статистика Ферми – Дирака применима к фермионам (частицам, которые подчиняются Принцип исключения Паули ), а статистика Бозе – Эйнштейна применяется к бозоны. Поскольку квантовая концентрация зависит от температуры, большинство систем при высоких температурах подчиняются классическому пределу (Максвелла – Больцмана), если только они не имеют очень высокую плотность, как в случае белый Гном. И Ферми – Дирак, и Бозе – Эйнштейн становятся Статистика Максвелла – Больцмана при высокой температуре или при низкой концентрации.

B – E статистика была введена для фотоны в 1924 г. Bose и обобщен на атомы Эйнштейн в 1924–25.

Ожидаемое количество частиц в энергетическом состоянии я для статистики B – E:

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}}$

с ε_я > μ и где п_я это количество частиц в состоянии я по общему количеству частиц всех энергетических состояний. грамм_я это вырождение уровня энергии я, ε_я это энергия из я-е состояние, μ это химический потенциал, k_B это Постоянная Больцмана, и Т является абсолютная температура.

Для сравнения, среднее количество фермионов с энергией ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ данный Распределение частиц Ферми – Дирака по энергиям имеет похожую форму:

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}(\varepsilon _{i})={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$

Как упоминалось выше, как распределение Бозе – Эйнштейна, так и распределение Ферми – Дирака приближаются к Распределение Максвелла – Больцмана в пределе высокой температуры и низкой плотности частиц, без необходимости каких-либо специальных предположений:

• В пределе низкой плотности частиц ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$, следовательно ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1\gg 1}$ или эквивалентно ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\gg 1}$. В таком случае, ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}}$, который является результатом статистики Максвелла-Больцмана.
• В пределе высокой температуры частицы распределены в большом диапазоне значений энергии, поэтому заселенность каждого состояния (особенно высокоэнергетического с ${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\text{B}}T}$) снова очень мало, ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1}$. Это снова сводится к статистике Максвелла-Больцмана.

Помимо сокращения до Распределение Максвелла – Больцмана в пределе высокого ${\displaystyle T}$ и низкой плотности, B – E-статистика также сводится к Закон Рэлея – Джинса распределение для низкоэнергетических состояний с
${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \ll k_{\text{B}}T}$, а именно

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}\\&\approx {\frac {g_{i}}{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}={\frac {g_{i}k_{\text{B}}T}{\varepsilon _{i}-\mu }}.\end{aligned}}}$

История

Читая лекцию на Университет Дакки (в том, что было тогда Британская Индия и сейчас Бангладеш ) по теории излучения и ультрафиолетовая катастрофа, Сатьендра Нат Бос стремился показать своим ученикам, что современная теория неадекватна, потому что она предсказывала результаты не в соответствии с результатами экспериментов. Во время этой лекции Бозе допустил ошибку в применении теории, которая неожиданно дала предсказание, совпадающее с экспериментом. Ошибка была простой ошибкой - подобной утверждению, что подбрасывание двух честных монет дает две орла в одной трети времени - что может показаться явно неправильным любому, кто имеет базовое понимание статистики (примечательно, что эта ошибка напоминала знаменитую ошибку д'Аламбер известно из его Croix ou Pile статья^[1][2]). Однако предсказанные результаты совпали с экспериментом, и Бозе понял, что это, возможно, не ошибка. Впервые он занял позицию, что Распределение Максвелла – Больцмана не будет верным для всех микроскопических частиц во всех масштабах. Таким образом, он изучил вероятность нахождения частиц в различных состояниях в фазовом пространстве, где каждое состояние представляет собой небольшой фрагмент с фазовым объемом час³, а положение и импульс частиц особо не разделяются, а рассматриваются как одна переменная.

Бозе преобразовал эту лекцию в небольшую статью под названием Закон Планка и гипотеза световых квантов^[3][4] и представил его Философский журнал. Однако заключение рецензента было отрицательным, и статья была отклонена. Неустрашимый, он отправил рукопись Альберту Эйнштейну с просьбой опубликовать ее в Zeitschrift für Physik. Эйнштейн немедленно согласился, лично перевел статью с английского на немецкий (Бозе ранее перевел статью Эйнштейна по общей теории относительности с немецкого на английский) и позаботился о том, чтобы она была опубликована. Теория Бозе получила признание, когда Эйнштейн отправил свою статью в поддержку теории Бозе в Zeitschrift für Physikс просьбой опубликовать их вместе. Газета вышла в 1924 году.^[5]

Причина, по которой Бозе дал точные результаты, заключалась в том, что, поскольку фотоны неотличимы друг от друга, нельзя рассматривать любые два фотона, имеющие равные квантовые числа (например, поляризацию и вектор импульса), как два отдельных идентифицируемых фотона. По аналогии, если бы в альтернативной вселенной монеты вели себя как фотоны и другие бозоны, вероятность образования двух голов действительно составляла бы одну треть, равно как и вероятность получения головы и хвоста, которая равна половине для обычные (классические, различимые) монеты. «Ошибка» Бозе приводит к тому, что сейчас называется статистикой Бозе – Эйнштейна.

Бозе и Эйнштейн распространили эту идею на атомы, и это привело к предсказанию существования явлений, которые стали известны как Конденсат Бозе – Эйнштейна, плотный набор бозонов (частиц с целочисленным спином, названный в честь Бозе), существование которого было продемонстрировано экспериментально в 1995 году.

Вывод

Вывод из микроканонического ансамбля

в микроканонический ансамбль, рассматривается система с фиксированными энергией, объемом и числом частиц. Возьмем систему, состоящую из ${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}}$ одинаковые бозоны, ${\displaystyle n_{i}}$ из которых имеют энергию ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ и распределяются по ${\displaystyle g_{i}}$ уровни или состояния с одинаковой энергией ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$, т.е. ${\displaystyle g_{i}}$ это вырождение, связанное с энергией ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ общей энергии ${\displaystyle E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$. Расчет количества аранжировок ${\displaystyle n_{i}}$ частицы распределены среди ${\displaystyle g_{i}}$ государства - это проблема комбинаторика. Поскольку здесь частицы и состояния неразличимы в квантовомеханическом контексте, и начиная с состояния, количество расположений равно

${\displaystyle w_{\text{BE}}={\frac {(g+n-1)!}{n!(g-1)!}}=C_{n}^{g+n-1},}$

где ${\displaystyle C_{k}^{m}}$ это k-комбинация набора с м элементы.

Если мы начнем с частицы, число будет

${\displaystyle w_{\text{BE}}^{*}={\frac {(g+n-1)!}{g!\,(n-1)!}}=C_{g}^{g+n-1}.}$

Сумма

${\displaystyle w_{\text{BE}}^{'}={\frac {(g+n)!}{g!\,n!}}=C_{g}^{g+n}.}$

Поскольку здесь все числа большие, различие не имеет значения в данном контексте. Общее количество расположений в ансамбле бозонов равно

${\displaystyle W_{\text{BE}}=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{(g_{i}-1)!n_{i}!}}.}$

Максимальное количество расположений, определяющее соответствующий номер занятия ${\displaystyle n_{i}}$ получается при поиске условия, которое максимизирует энтропия, или, что эквивалентно, установка ${\displaystyle \mathrm {d} (\ln W_{\text{BE}})=0}$ и принимая дополнительные условия ${\displaystyle N=\sum n_{i},E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ во внимание (как Множители Лагранжа ).^[6] Результатом для большого числа частиц является распределение Бозе – Эйнштейна.

Выражения ${\displaystyle w_{\text{BE}},w_{\text{BE}}^{*}}$ представляют значительный интерес во многих задачах комбинаторики. Для не огромных значений ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle g}$ то биномиальные коэффициенты ${\displaystyle C_{r}^{n},C_{r}^{n+r-1}}$ даны Треугольники Паскаля. Дополнительные сведения о комбинаторике см. В примечаниях к каноническому выводу.

Выход из большого канонического ансамбля

Распределение Бозе – Эйнштейна, применимое только к квантовой системе невзаимодействующих бозонов, естественным образом выводится из большой канонический ансамбль без каких-либо приближений.^[7] В этом ансамбле система способна обмениваться энергией и обмениваться частицами с резервуаром (температура Т и химический потенциал µ фиксируется резервуаром).

Из-за того, что качество не взаимодействует, каждый доступный одночастичный уровень (с уровнем энергии ϵ) образует отдельную термодинамическую систему, контактирующую с резервуаром. То есть количество частиц в общей системе которые занимают данное одночастичное состояние образуют суб-ансамбль, который также является большим каноническим ансамблем; следовательно, его можно проанализировать, построив большая функция раздела.

Каждое одночастичное состояние имеет фиксированную энергию, ${\displaystyle \varepsilon }$. Поскольку суб-ансамбль, связанный с одночастичным состоянием, изменяется только числом частиц, ясно, что полная энергия суб-ансамбля также прямо пропорциональна числу частиц в одночастичном состоянии; где ${\displaystyle N}$ - количество частиц, тогда полная энергия суб-ансамбля будет ${\displaystyle N\varepsilon }$. Начиная со стандартного выражения для большой функции раздела и заменяя ${\displaystyle E}$ с ${\displaystyle N\varepsilon }$, большая статистическая сумма принимает вид

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N}\exp((N\mu -N\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N}\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}$

Эта формула применима как к фермионным системам, так и к бозонным системам. Статистика Ферми-Дирака возникает при рассмотрении влияния Принцип исключения Паули: в то время как количество фермионов, занимающих одно и то же одночастичное состояние, может быть только 1 или 0, количество бозонов, занимающих одночастичное состояние, может быть любым целым числом. Таким образом, большую статистическую сумму для бозонов можно рассматривать как геометрическая серия и могут быть оценены как таковые:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\sum _{N=0}^{\infty }\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N=0}^{\infty }[\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)]^{N}\\&={\frac {1}{1-\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}}.\end{aligned}}}$

Отметим, что геометрический ряд сходится, только если ${\displaystyle e^{(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T}<1}$, включая случай, когда ${\displaystyle \epsilon =0}$. Это означает, что химический потенциал бозе-газа должен быть отрицательным, т. Е. ${\displaystyle \mu <0}$, в то время как ферми-газ может принимать как положительные, так и отрицательные значения химического потенциала.^[8]

Среднее число частиц для этого одночастичного подсостояния определяется как

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\text{B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1}}}$

Этот результат применим для каждого одночастичного уровня и, таким образом, образует распределение Бозе – Эйнштейна для всего состояния системы.^[9][10]

Разница в количестве частиц (из-за тепловые колебания ) также может быть получен, результат может быть выражен через ${\displaystyle \langle N\rangle }$ только что полученное значение:

${\displaystyle \langle \sigma _{N}^{2}\rangle =k_{\text{B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}={\frac {\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)}{(\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1)^{2}}}=\langle N\rangle (1+\langle N\rangle ).}$

В результате для сильно занятых государств среднеквадратичное отклонение числа частиц на уровне энергии очень велико, немного больше, чем само число частиц: ${\displaystyle \sigma _{N}\approx \langle N\rangle }$. Эта большая неопределенность связана с тем, что распределение вероятностей для числа бозонов на данном уровне энергии есть геометрическое распределение; несколько парадоксально, наиболее вероятное значение для N всегда 0. (Напротив, классические частицы иметь вместо распределение Пуассона в количестве частиц для данного состояния с гораздо меньшей неопределенностью ${\displaystyle \sigma _{N,{\rm {classical}}}={\sqrt {\langle N\rangle }}}$, а с наиболее вероятным N ценность быть рядом ${\displaystyle \langle N\rangle }$.)

Вывод в каноническом подходе

Также возможно получить приближенную статистику Бозе – Эйнштейна в канонический ансамбль Эти выводы являются длинными и приводят только к приведенным выше результатам в асимптотическом пределе большого числа частиц. Причина в том, что полное число бозонов фиксировано в каноническом ансамбле. Распределение Бозе – Эйнштейна в этом случае может быть получено, как и в большинстве текстов, путем максимизации, но математически лучший вывод получается с помощью Метод Дарвина – Фаулера средних значений, как подчеркивал Дингл.^[11] См. Также Мюллер-Кирстен.^[6] Однако флуктуации основного состояния в конденсированной области заметно различаются в каноническом и великоканоническом ансамблях.^[12]

Вывод

Предположим, у нас есть несколько уровней энергии, помеченных индексом${\displaystyle \displaystyle i}$, каждый уровень имеет энергию ${\displaystyle \displaystyle \varepsilon _{i}}$ и содержащий в общей сложности ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ частицы. Предположим, что каждый уровень содержит ${\displaystyle \displaystyle g_{i}}$различные подуровни, все из которых имеют одинаковую энергию и различимы. Например, две частицы могут иметь разные импульсы, и в этом случае они отличны друг от друга, но при этом могут иметь одинаковую энергию. Значение ${\displaystyle \displaystyle g_{i}}$ связанный с уровнем ${\displaystyle \displaystyle i}$ называется «вырождением» этого энергетического уровня. На одном подуровне может находиться любое количество бозонов.

Позволять ${\displaystyle \displaystyle w(n,g)}$ быть количеством способов распределения${\displaystyle \displaystyle n}$ частицы среди ${\displaystyle \displaystyle g}$ подуровни энергетического уровня. Есть только один способ распространения${\displaystyle \displaystyle n}$ частицы с одним подуровнем, поэтому ${\displaystyle \displaystyle w(n,1)=1}$. Нетрудно заметить, что есть ${\displaystyle \displaystyle (n+1)}$ способы распространения${\displaystyle \displaystyle n}$ частицы на двух подуровнях, которые мы запишем как:

${\displaystyle w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}.}$

Немного подумав (см. Примечания ниже) видно, что количество способов раздачи${\displaystyle \displaystyle n}$ частиц в трех подуровнях

${\displaystyle w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)}$

так что

${\displaystyle w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}}$

где мы использовали следующие теорема с привлечением биномиальные коэффициенты:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$

Продолжая этот процесс, мы видим, что ${\displaystyle \displaystyle w(n,g)}$просто биномиальный коэффициент (см. Примечания ниже)

${\displaystyle w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.}$

Например, численность населения для двух частиц на трех подуровнях составляет 200, 110, 101, 020, 011 или 002, всего шесть, что равно 4! / (2! 2!). Количество способов, которыми набор номеров занятий ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ может быть реализовано, является продуктом способов, которыми может быть заполнен каждый индивидуальный энергетический уровень:

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}}$

где приближение предполагает, что ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$.

Следуя той же процедуре, которая использовалась при вычислении Статистика Максвелла – Больцмана, мы хотим найти набор ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ для которого W максимизируется при условии, что существует фиксированное общее количество частиц и фиксированная общая энергия. Максимумы ${\displaystyle \displaystyle W}$ и ${\displaystyle \displaystyle \ln(W)}$ происходят при том же значении ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$ и, поскольку это проще выполнить математически, мы вместо этого максимизируем последнюю функцию. Мы ограничиваем наше решение, используя Множители Лагранжа формирование функции:

${\displaystyle f(n_{i})=\ln(W)+\alpha (N-\sum n_{i})+\beta (E-\sum n_{i}\varepsilon _{i})}$

С использованием ${\displaystyle n_{i}\gg 1}$ приближение и использование Приближение Стирлинга для факториалов ${\displaystyle \left(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt {2\pi x}}\right)}$ дает

${\displaystyle f(n_{i})=\sum _{i}(n_{i}+g_{i})\ln(n_{i}+g_{i})-n_{i}\ln(n_{i})+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)+K.}$

Где K представляет собой сумму ряда членов, которые не являются функциями ${\displaystyle n_{i}}$. Взяв производную по ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$, и установив результат равным нулю и решив для ${\displaystyle \displaystyle n_{i}}$, дает численность населения Бозе – Эйнштейна:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}.}$

Процессом, аналогичным описанному в Статистика Максвелла – Больцмана статье видно, что:

${\displaystyle d\ln W=\alpha \,dN+\beta \,dE}$

которое, используя известное соотношение Больцмана ${\displaystyle S=k_{\text{B}}\,\ln W}$ становится заявлением второй закон термодинамики при постоянной громкости, и отсюда следует, что ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}}$ и ${\displaystyle \alpha =-{\frac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$ где S это энтропия, ${\displaystyle \mu }$ это химический потенциал, k_B является Постоянная Больцмана и Т это температура, так что наконец:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}.}$

Обратите внимание, что приведенная выше формула иногда записывается:

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}/z-1}},}$

где ${\displaystyle \displaystyle z=\exp(\mu /k_{\text{B}}T)}$ это абсолют Мероприятия, как отмечает МакКуорри.^[13]

Также обратите внимание, что когда числа частиц не сохраняются, снятие ограничения сохранения числа частиц эквивалентно установке ${\displaystyle \alpha }$ и, следовательно, химический потенциал ${\displaystyle \mu }$ до нуля. Это будет иметь место для фотонов и массивных частиц во взаимном равновесии, и результирующее распределение будет Распределение Планка.

Примечания

Гораздо более простой способ представить себе функцию распределения Бозе – Эйнштейна - это учесть, что п частицы обозначены одинаковыми шарами и Оболочки g отмечены перегородками линии g-1. Понятно, что перестановки из этих n мячей и г - 1 перегородки даст разные способы расположения бозонов на разных уровнях энергии. Скажем, для 3 (=п) частиц и 3 (=грамм) оболочки, поэтому (грамм - 1) = 2, расположение могло бы быть |●●|●, или же ||●●●, или же |●|●● и т. д. Следовательно, количество различных перестановок n + (g-1) объектов, которые имеют n идентичных элементов и (грамм - 1) идентичные предметы будут:

${\displaystyle {\frac {(g-1+n)!}{(g-1)!n!}}}$

ИЛИ ЖЕ

Цель этих заметок - прояснить некоторые аспекты вывода распределения Бозе – Эйнштейна (B – E) для начинающих. Перечень случаев (или способов) в распределении B – E можно изменить следующим образом. Рассмотрим игру в бросание костей, в которой ${\displaystyle \displaystyle n}$ кости, каждая из которых принимает значения в наборе ${\displaystyle \displaystyle \{1,\dots ,g\}}$, за ${\displaystyle g\geq 1}$. Ограничения игры заключаются в том, что значение кубика ${\displaystyle \displaystyle i}$, обозначаемый ${\displaystyle \displaystyle m_{i}}$, должно быть больше или равно ценность смерти ${\displaystyle \displaystyle (i-1)}$, обозначаемый ${\displaystyle \displaystyle m_{i-1}}$, в предыдущем броске, т.е. ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$. Таким образом, правильную последовательность бросков кубика можно описать ппара ${\displaystyle \displaystyle (m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})}$, так что ${\displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$. Позволять ${\displaystyle \displaystyle S(n,g)}$ обозначим множество этих допустимых п- пары:

${\displaystyle S(n,g)={\Big \{}(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n}){\Big |}{\Big .}m_{i}\geq m_{i-1},m_{i}\in \left\{1,\ldots ,g\right\},\forall i=1,\dots ,n{\Big \}}.}$

(1)

Тогда количество ${\displaystyle \displaystyle w(n,g)}$ (определено выше как количество способов распространения ${\displaystyle \displaystyle n}$ частицы среди ${\displaystyle \displaystyle g}$ подуровней энергетического уровня) - мощность ${\displaystyle \displaystyle S(n,g)}$, то есть количество элементов (или действительных п-tuples) в ${\displaystyle \displaystyle S(n,g)}$Таким образом, проблема нахождения выражения для ${\displaystyle \displaystyle w(n,g)}$ становится проблемой подсчета элементов в ${\displaystyle \displaystyle S(n,g)}$.

пример п = 4, грамм = 3:

${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1113)} _{(a)},\underbrace {(1122),(1123),(1133)} _{(b)},\underbrace {(1222),(1223),(1233),(1333)} _{(c)},\right.}$

${\displaystyle \left.\underbrace {(2222),(2223),(2233),(2333),(3333)} _{(d)}\right\}}$

${\displaystyle \displaystyle w(4,3)=15}$ (есть ${\displaystyle \displaystyle 15}$ элементы в ${\displaystyle \displaystyle S(4,3)}$)

Подмножество ${\displaystyle \displaystyle (a)}$получается фиксацией всех индексов ${\displaystyle \displaystyle m_{i}}$ к ${\displaystyle \displaystyle 1}$, кроме последнего индекса, ${\displaystyle \displaystyle m_{n}}$, который увеличивается с ${\displaystyle \displaystyle 1}$ к${\displaystyle \displaystyle g=3}$.Подмножество ${\displaystyle \displaystyle (b)}$получается путем фиксации ${\displaystyle \displaystyle m_{1}=m_{2}=1}$, и увеличивая ${\displaystyle \displaystyle m_{3}}$ из ${\displaystyle \displaystyle 2}$ к${\displaystyle \displaystyle g=3}$. Из-за ограничения ${\displaystyle \displaystyle m_{i}\geq m_{i-1}}$по индексам в ${\displaystyle \displaystyle S(n,g)}$, индекс${\displaystyle \displaystyle m_{4}}$ должен автоматически принимать значения в ${\displaystyle \displaystyle \left\{2,3\right\}}$.Построение подмножеств.${\displaystyle \displaystyle (c)}$ и ${\displaystyle \displaystyle (d)}$следует таким же образом.

Каждый элемент ${\displaystyle \displaystyle S(4,3)}$ можно рассматривать как мультимножество мощности ${\displaystyle \displaystyle n=4}$; элементы такого мультимножества берутся из множества ${\displaystyle \displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$мощности ${\displaystyle \displaystyle g=3}$, а количество таких мультимножеств равно коэффициент мультимножества

${\displaystyle \displaystyle \left\langle {\begin{matrix}3\\4\end{matrix}}\right\rangle ={3+4-1 \choose 3-1}={3+4-1 \choose 4}={\frac {6!}{4!2!}}=15}$

В более общем плане каждый элемент ${\displaystyle \displaystyle S(n,g)}$это мультимножество мощности${\displaystyle \displaystyle n}$(количество кубиков) с элементами, взятыми из набора ${\displaystyle \displaystyle \left\{1,\dots ,g\right\}}$мощности ${\displaystyle \displaystyle g}$(количество возможных значений каждого кубика) и количество таких мультимножеств, т. е. ${\displaystyle \displaystyle w(n,g)}$это коэффициент мультимножества

${\displaystyle \displaystyle w(n,g)=\left\langle {\begin{matrix}g\\n\end{matrix}}\right\rangle ={g+n-1 \choose g-1}={g+n-1 \choose n}={\frac {(g+n-1)!}{n!(g-1)!}}}$

(2)

который в точности совпадает с формула за ${\displaystyle \displaystyle w(n,g)}$, как получено выше с помощью теорема с биномиальными коэффициентами, а именно

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.}$

(3)

Чтобы понять разложение

${\displaystyle \displaystyle w(n,g)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,g-1)=w(n,g-1)+w(n-1,g-1)+\cdots +w(1,g-1)+w(0,g-1)}$

(4)

или, например, ${\displaystyle \displaystyle n=4}$и${\displaystyle \displaystyle g=3}$

${\displaystyle \displaystyle w(4,3)=w(4,2)+w(3,2)+w(2,2)+w(1,2)+w(0,2),}$

давайте переставим элементы ${\displaystyle \displaystyle S(4,3)}$ следующим образом

${\displaystyle S(4,3)=\left\{\underbrace {(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)} _{(\alpha )},\underbrace {(111{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(112{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(122{\color {Red}{\underset {=}{3}}}),(222{\color {Red}{\underset {=}{3}}})} _{(\beta )},\right.}$

${\displaystyle \left.\underbrace {(11{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(12{\color {Red}{\underset {==}{33}}}),(22{\color {Red}{\underset {==}{33}}})} _{(\gamma )},\underbrace {(1{\color {Red}{\underset {===}{333}}}),(2{\color {Red}{\underset {===}{333}}})} _{(\delta )}\underbrace {({\color {Red}{\underset {====}{3333}}})} _{(\omega )}\right\}.}$

Ясно, что подмножество${\displaystyle \displaystyle (\alpha )}$из ${\displaystyle \displaystyle S(4,3)}$такой же, как и набор

${\displaystyle \displaystyle S(4,2)=\left\{(1111),(1112),(1122),(1222),(2222)\right\}}$.

Удалив индекс ${\displaystyle \displaystyle m_{4}=3}$(Показано в красный с двойным подчеркиванием) в подмножестве ${\displaystyle \displaystyle (\beta )}$из ${\displaystyle \displaystyle S(4,3)}$, получаем набор

${\displaystyle \displaystyle S(3,2)=\left\{(111),(112),(122),(222)\right\}}$.

Другими словами, существует взаимно однозначное соответствие между подмножеством${\displaystyle \displaystyle (\beta )}$из ${\displaystyle \displaystyle S(4,3)}$и набор${\displaystyle \displaystyle S(3,2)}$. Мы пишем

${\displaystyle \displaystyle (\beta )\longleftrightarrow S(3,2)}$.

Аналогичным образом легко увидеть, что

${\displaystyle \displaystyle (\gamma )\longleftrightarrow S(2,2)=\left\{(11),(12),(22)\right\}}$

${\displaystyle \displaystyle (\delta )\longleftrightarrow S(1,2)=\left\{(1),(2)\right\}}$

${\displaystyle \displaystyle (\omega )\longleftrightarrow S(0,2)=\varnothing }$ (пустой набор).

Таким образом, мы можем написать

${\displaystyle \displaystyle S(4,3)=\bigcup _{k=0}^{4}S(4-k,2)}$

или, в более общем смысле,

${\displaystyle \displaystyle S(n,g)=\bigcup _{k=0}^{n}S(n-k,g-1)}$;

(5)

а поскольку множества

${\displaystyle S(i,g-1),{\text{ for }}i=0,\dots ,n}$

не пересекаются, поэтому

${\displaystyle \displaystyle w(n,g)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,g-1)}$,

(6)

с условием, что

${\displaystyle w(0,g)=1\ ,\forall g,{\text{ and }}w(n,0)=1\ ,\forall n.}$

(7)

Продолжая процесс, приходим к следующей формуле

${\displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}w(n-k_{1}-k_{2},g-2)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}w(n-\sum _{i=1}^{g}k_{i},0).}$

Используя соглашение (7)₂ выше, получаем формулу

${\displaystyle \displaystyle w(n,g)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\sum _{k_{2}=0}^{n-k_{1}}\cdots \sum _{k_{g}=0}^{n-\sum _{j=1}^{g-1}k_{j}}1,}$

(8)

имея в виду, что для ${\displaystyle \displaystyle q}$и ${\displaystyle \displaystyle p}$будучи константами, мы имеем

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{q}p=qp}$.

(9)

Затем можно проверить, что (8) и (2) дают одинаковый результат для ${\displaystyle \displaystyle w(4,3)}$,${\displaystyle \displaystyle w(3,3)}$, ${\displaystyle \displaystyle w(3,2)}$, так далее.

Междисциплинарные приложения

Рассматривается как чистый распределение вероятностей, распределение Бозе – Эйнштейна нашло применение в других областях:

• В последние годы статистика Бозе-Эйнштейна также использовалась в качестве метода взвешивания терминов в поиск информации. Этот метод является одним из набора моделей DFR («Дивергенция от случайности»),^[14] основная идея заключается в том, что статистика Бозе-Эйнштейна может быть полезным индикатором в тех случаях, когда конкретный термин и конкретный документ имеют значимую взаимосвязь, которая не возникла бы случайно. Исходный код для реализации этой модели доступен на сайте Терьер проект в Университете Глазго.
• Основная статья: Конденсация Бозе – Эйнштейна (теория сетей)
  Эволюция многих сложных систем, в том числе Всемирная паутина, бизнес и сети цитирования, закодированы в динамической сети, описывающей взаимодействия между составляющими системы. Несмотря на свою необратимую и неравновесную природу, эти сети следуют статистике Бозе и могут подвергаться конденсации Бозе – Эйнштейна. Обращение к динамическим свойствам этих неравновесных систем в рамках равновесных квантовых газов предсказывает, что «преимущество первопроходца», «приспособляемость и обогащение» (FGR), и явления «победитель получает все», наблюдаемые в конкурентных системах, являются термодинамически различными фазами лежащих в основе развивающихся сетей.^[15]

Смотрите также

• Корреляции Бозе – Эйнштейна
• Конденсат Бозе – Эйнштейна
• Бозе-газ
• Эйнштейн твердый
• бозон Хиггса
• Парастатистика
• Закон планка излучения черного тела
• Сверхпроводимость
• Статистика Ферми – Дирака
• Статистика Максвелла – Больцмана

Примечания

1. Даламбер, Жан (1754). "Croix ou pile". L'Encyclopédie (На французском). 4.
2. Даламбер, Жан (1754). "CROIX OU PILE" [Перевод Ричарда Дж. Пулскэмпа] (PDF). Ксавье университет. Получено 2019-01-14.
3. См. Стр. 14, примечание 3 диссертации: Микеланджели, Алессандро (октябрь 2007 г.). Конденсация Бозе – Эйнштейна: анализ проблем и строгие результаты (PDF) (Кандидат наук.). Международная школа перспективных исследований. В архиве (PDF) из оригинала 3 ноября 2018 г.. Получено 14 февраля 2019. Сложить резюме.
4. Бозе (2 июля 1924 г.). «Закон Планка и гипотеза световых квантов» (PostScript). Ольденбургский университет. Получено 30 ноября 2016.
5. Бозе (1924), "Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese", Zeitschrift für Physik (на немецком), 26 (1): 178–181, Bibcode:1924ZPhy ... 26..178B, Дои:10.1007 / BF01327326, S2CID  186235974
6. H.J.W. Мюллер-Кирстен, Основы статистической физики, 2-е изд., World Scientific (2013), ISBN  978-981-4449-53-3.
7. Srivastava, R.K .; Ашок, Дж. (2005). «Глава 7». Статистическая механика. Нью-Дели: PHI Learning Pvt. ООО ISBN  9788120327825.
8. Ландау, Л. Д., Лифшич, Э. М., Лифшиц, Э. М., и Питаевский, Л. П. (1980). Статистическая физика (Том 5). Pergamon Press.
9. "Глава 6". Статистическая механика. Январь 2005 г. ISBN  9788120327825.
10. Распределение BE может быть получено также из теории теплового поля.
11. Р. Б. Дингл, Асимптотические разложения: их вывод и интерпретация, Academic Press (1973), стр. 267–271.
12. Ziff R.M; Kac, M .; Уленбек, Г. Э. (1977). "Новый взгляд на идеальный газ Бозе – Эйнштейна. " Phys. Отчеты 32: 169-248.
13. См. McQuarrie в цитатах
14. Amati, G .; К. Дж. Ван Рейсберген (2002). "Вероятностные модели поиска информации на основе измерения отклонения от случайности " ACM TOIS 20(4):357–389.
15. Бьянкони, Г.; Барабаши, А.-Л. (2001). "Конденсация Бозе – Эйнштейна в сложных сетях. " Phys. Rev. Lett. 86: 5632–35.

Рекомендации

• Аннетт, Джеймс Ф. (2004). Сверхпроводимость, сверхтекучие жидкости и конденсаты. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850755-0.
• Картер, Эшли Х. (2001). Классическая и статистическая термодинамика. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN  0-13-779208-5.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Пирсон, Прентис-Холл. ISBN  0-13-191175-9.
• Маккуорри, Дональд А. (2000). Статистическая механика (1-е изд.). Саусалито, Калифорния 94965: Университетские научные книги. п.55. ISBN  1-891389-15-7.