Закон Рэлея – Джинса - Rayleigh–Jeans law

Сравнение закона Рэлея – Джинса с Вина приближение и Закон планка, для тела 5800 К температура.

В физика, то Закон Рэлея – Джинса является приближением к спектральное сияние из электромагнитное излучение как функция длина волны из черное тело при данной температуре с помощью классических аргументов. Для длины волны ${\displaystyle \lambda }$, это:

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}},}$

куда ${\displaystyle B_{\lambda }}$ это спектральное сияние, мощность, выделяемая на единицу излучающей площади, на стерадиан, на единицу длины волны; ${\displaystyle c}$ это скорость света; ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ это Постоянная Больцмана; и ${\displaystyle T}$ это температура в кельвины. За частота ${\displaystyle \nu }$, вместо этого выражение

${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2\nu ^{2}k_{\mathrm {B} }T}{c^{2}}}.}$

Закон Рэлея – Джинса согласуется с экспериментальными результатами на больших длинах волн (низкие частоты), но сильно не согласуется с короткими длинами волн (высокими частотами). Это несоответствие между наблюдениями и предсказаниями классическая физика широко известен как ультрафиолетовая катастрофа.^[1][2] Его резолюция в 1900 г. с выводом Макс Планк из Закон планка, который дает правильное излучение на всех частотах, был основополагающим аспектом развития квантовая механика в начале 20 века.

Историческое развитие

В 1900 году британский физик Лорд Рэйли получил λ⁻⁴ зависимость закона Рэлея – Джинса, основанная на классических физических аргументах и ​​эмпирических фактах.^[1] Более полный вывод, включающий константу пропорциональности, был представлен Рэлеем и Сэром. Джеймс Джинс в 1905 г. Закон Рэлея – Джинса выявил важную ошибку в теории физики того времени. Закон предсказал выход энергии, расходящийся в сторону бесконечность когда длина волны приближается к нулю (поскольку частота стремится к бесконечности). Измерения спектрального излучения реальных черных тел показали, что излучение согласуется с законом Рэлея-Джинса на низких частотах, но расходится на высоких частотах; достигает максимума, а затем падает с частотой, поэтому общая излучаемая энергия конечна.

Сравнение с законом Планка

В 1900 г. Макс Планк эмпирически полученное выражение для излучение черного тела выражается через длину волны λ = c/ν (Закон планка ):

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}},}$

куда час это Постоянная Планка и k_B в Постоянная Больцмана. Закон Планка не подвержен ультрафиолетовой катастрофе и хорошо согласуется с экспериментальными данными, но его полное значение (которое в конечном итоге привело к квантовой теории) было оценено только несколько лет спустя. С,

${\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots .}$

то в пределе высоких температур или длинных волн член в экспоненте становится малым, а экспонента хорошо аппроксимируется Многочлен Тейлора термин первого порядка,

${\displaystyle e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}\approx 1+{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}.}$

Так,

${\displaystyle {\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {1}{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}={\frac {\lambda k_{\mathrm {B} }T}{hc}}.}$

В результате формула черного тела Планка сводится к

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}},}$

что идентично классическому выражению Рэлея – Джинса.

Тот же аргумент можно применить к излучению абсолютно черного тела, выраженному через частоту ν = c/λ. В пределе малых частот, то есть ${\displaystyle h\nu \ll k_{\mathrm {B} }T}$,

${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{h\nu }}={\frac {2\nu ^{2}k_{\mathrm {B} }T}{c^{2}}}.}$

Последнее выражение является законом Рэлея – Джинса в пределе малых частот.

Согласованность выражений, зависящих от частоты и длины волны

При сравнении выражений закона Рэлея – Джинса, зависящих от частоты и длины волны, важно помнить, что

${\displaystyle {\frac {dP}{d{\lambda }}}=B_{\lambda }(T)}$, и

${\displaystyle {\frac {dP}{d{\nu }}}=B_{\nu }(T)}$

Следовательно,

${\displaystyle B_{\lambda }(T)\neq B_{\nu }(T)}$

даже после подстановки значения ${\displaystyle \lambda =c/\nu }$, потому что ${\displaystyle B_{\lambda }(T)}$ имеет единицы энергии, излучаемой в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности на единицу телесного угла, на единицу длины волны, в то время как ${\displaystyle B_{\nu }(T)}$ имеет единицы энергии, излучаемой в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности на единицу телесного угла, на единицу частоты. Чтобы быть последовательными, мы должны использовать равенство

${\displaystyle B_{\lambda }\,d\lambda =dP=B_{\nu }\,d\nu }$

где обе стороны теперь имеют единицы мощности (энергия, излучаемая в единицу времени) на единицу площади излучающей поверхности на единицу телесного угла.

Исходя из закона Рэлея – Джинса по длине волны, получаем

${\displaystyle B_{\lambda }(T)=B_{\nu }(T)\times {\frac {d\nu }{d\lambda }}}$

куда

${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {c}{\lambda }}\right)=-{\frac {c}{\lambda ^{2}}}}$.

Это приводит нас к обнаружению:

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }T\left({\frac {c}{\lambda }}\right)^{2}}{c^{2}}}\times {\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}}$.

Другие формы закона Рэлея-Джинса

В зависимости от приложения функция Планка может быть выражена в 3 различных формах. Первый включает энергию, излучаемую в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу спектра. В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются выражением

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}}$

или же

${\displaystyle B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2k_{\mathrm {B} }T\nu ^{2}}{c^{2}}}}$

В качестве альтернативы закон Планка можно записать в виде выражения ${\displaystyle I(\nu ,T)=\pi B_{\nu }(T)}$ для излучаемой мощности, интегрированной по всем телесным углам. В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются выражением

${\displaystyle I(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2\pi ck_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}}$

или же

${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {2\pi k_{\mathrm {B} }T\nu ^{2}}{c^{2}}}}$

В других случаях закон Планка записывается как ${\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$ для энергии на единицу объема (плотности энергии). В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются выражением

${\displaystyle u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}~{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }T}{\lambda ^{4}}}}$

или же

${\displaystyle u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }T\nu ^{2}}{c^{3}}}}$

Смотрите также

• Закон Стефана – Больцмана
• Закон смещения Вина
• Уравнение Сакумы – Хаттори

Рекомендации

1. Катнер, Марк Л. (2003). Астрономия: физическая перспектива. Издательство Кембриджского университета. п.15. ISBN  0-521-52927-1.
2. Рыбицкий; Лайтман (2004). Радиационные процессы в астрофизике. Вайли. С. 20–28. ISBN  0-471-82759-2.

внешняя ссылка

• Вывод в HyperPhysics