Закон Стефана – Больцмана - Stefan–Boltzmann law

Смотрите также: Черное тело, Излучение черного тела, Закон планка, и Тепловое излучение

График функции полной излучаемой энергии черного тела ${\displaystyle j^{\star }}$ пропорциональна его термодинамической температуре ${\displaystyle T\,}$. Синим цветом обозначена полная энергия согласно Вина приближение, ${\displaystyle j_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,}$

В Закон Стефана – Больцмана описывает мощность, излучаемую черное тело с точки зрения его температура. В частности, закон Стефана – Больцмана гласит, что общая энергия излучается на единицу площадь поверхности из черное тело через все длины волн за единицу время ${\displaystyle j^{\star }}$ (также известный как черное тело лучистая излучательная способность ) прямо пропорциональный в четвертой степени черного тела термодинамическая температура Т:

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}.}$

В константа пропорциональности σ, называется Постоянная Стефана – Больцмана, происходит от других известных физические константы. Значение константы равно

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670373\times 10^{-8}\,\mathrm {W\,m^{-2}K^{-4}} ,}$

где k это Постоянная Больцмана, час является Постоянная Планка, и c является скорость света в вакууме. В сияние с заданного угла зрения (ватт на квадратный метр на стерадиан ) дан кем-то

${\displaystyle L={\frac {j^{\star }}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}T^{4}.}$

Тело, которое не поглощает все падающее излучение (иногда известное как серое тело), ​​излучает меньше общей энергии, чем черное тело, и характеризуется излучательная способность, ${\displaystyle \varepsilon <1}$:

${\displaystyle j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.}$

Излучение ${\displaystyle j^{\star }}$ имеет Габаритные размеры из поток энергии (энергия в единицу времени на единицу площади), а Единицы СИ меры джоули в секунду на квадратный метр или, что эквивалентно, Вт за квадратный метр. Единица СИ для абсолютной температуры Т это кельвин. ${\displaystyle \varepsilon }$ это излучательная способность серого тела; если это идеальное черное тело, ${\displaystyle \varepsilon =1}$. В еще более общем (и реалистичном) случае коэффициент излучения зависит от длины волны, ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (\lambda )}$.

Чтобы найти общую мощность излученный от объекта, умножить на его площадь поверхности, ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle P=Aj^{\star }=A\varepsilon \sigma T^{4}.}$

Частицы длин волн и субволновых длин волн,^[1] метаматериалы,^[2] и другие наноструктуры не подпадают под лучево-оптические ограничения и могут быть разработаны таким образом, чтобы выходить за рамки закона Стефана-Больцмана.

История

В 1864 г. Джон Тиндалл представили измерения инфракрасного излучения платиновой нити и соответствующего цвета нити.^[3] Пропорциональность четвертой степени абсолютной температуры вычислялась по формуле Йозеф Стефан (1835–1893) в 1879 г. на основе экспериментальных измерений Тиндаля, в статье Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (О связи теплового излучения и температуры) в Бюллетени сессий Венской академии наук.^[4][5]

Вывод закона из теоретических соображений был представлен Людвиг Больцманн (1844–1906) в 1884 году, опираясь на работы Адольфо Бартоли.^[6] Бартоли в 1876 г. установил существование радиационное давление из принципов термодинамика. Вслед за Бартоли Больцман считал идеальным Тепловой двигатель использование электромагнитного излучения вместо идеального газа в качестве рабочего вещества.

Закон был практически сразу подтвержден экспериментально. Генрих Вебер в 1888 г. указал на отклонения при более высоких температурах, но к 1897 г. была подтверждена прекрасная точность в пределах погрешностей измерений до температур 1535 К.^[7]Закон, включая теоретическое предсказание Постоянная Стефана – Больцмана как функция скорость света, то Постоянная Больцмана и Постоянная Планка, это прямое следствие из Закон планка как сформулировано в 1900 году.

Примеры

Температура Солнца

Стефан своим законом также определил температуру солнце поверхность.^[8] Он сделал вывод из данных Жак-Луи Соре (1827–1890)^[9] что плотность потока энергии от Солнца в 29 раз больше плотности потока энергии определенного нагретого металла ламели (тонкая пластинка). Круглая пластинка была размещена на таком расстоянии от измерительного прибора, чтобы она была видна под тем же углом, что и Солнце. Соре оценил температуру ламели примерно в 1900 ° C до 2000 ° C. Стефан предположил, что ⅓ потока энергии от Солнца поглощается Атмосфера Земли, поэтому он принял за правильный поток энергии Солнца значение, в 3/2 раза превышающее значение Соре, а именно 29 × 3/2 = 43,5.

Точные измерения атмосферного поглощение не производились до 1888 и 1904 годов. Температура, полученная Стефаном, была медианным значением предыдущих, 1950 ° C, и абсолютным термодинамическим значением 2200 K. As 2.57⁴ = 43,5, из закона следует, что температура Солнца в 2,57 раза больше, чем температура ламели, поэтому Стефан получил значение 5430 ° C или 5700 K (современное значение 5778 K^[10]). Это было первое разумное значение температуры Солнца. До этого значения варьировались от 1800 ° C до 13000000 ° C.^[11] были востребованы. Нижнее значение 1800 ° C было определено Клод Пуийе (1790–1868) в 1838 г., используя Закон Дюлонга – Пети.^[12] Пуйе также взял только половину значения правильного потока энергии Солнца.

Температура звезд

Температура звезды кроме Солнца, можно аппроксимировать аналогичным способом, рассматривая излучаемую энергию как черное тело радиация.^[13] Так:

${\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma {T_{e}}^{4}}$

где L это яркость, σ это Постоянная Стефана – Больцмана, р - радиус звезды и Т это эффективная температура. Эту же формулу можно использовать для вычисления приблизительного радиуса звезды главной последовательности относительно Солнца:

${\displaystyle {\frac {R}{R_{\odot }}}\approx \left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{-2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L_{\odot }}}}}$

где ${\displaystyle R_{\odot }}$ это солнечный радиус, ${\displaystyle L_{\odot }}$ это солнечная светимость, и так далее.

Согласно закону Стефана – Больцмана, астрономы легко вывести радиусы звезд. Закон также соблюдается в термодинамика из черные дыры в так называемом Радиация Хокинга.

Эффективная температура Земли

Аналогичным образом мы можем вычислить эффективная температура земли Т_⊕ путем уравнивания энергии, получаемой от Солнца, и энергии, излучаемой Землей, в приближении черного тела (собственное производство энергии Землей достаточно мало, чтобы им можно было пренебречь). Светимость Солнца, L_⊙, дан кем-то:

${\displaystyle L_{\odot }=4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}$

На Земле эта энергия проходит через сферу радиусом а₀, расстояние между Землей и Солнцем, а сияние (полученная мощность на единицу площади) определяется как

${\displaystyle E_{\oplus }={\frac {L_{\odot }}{4\pi a_{0}^{2}}}}$

Земля имеет радиус р_⊕, и поэтому имеет поперечное сечение ${\displaystyle \pi R_{\oplus }^{2}}$. В лучистый поток (т. е. солнечная энергия), потребляемая Землей, определяется следующим образом:

${\displaystyle \Phi _{\text{abs}}=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }:}$

Поскольку закон Стефана-Больцмана использует четвертую степень, он оказывает стабилизирующее влияние на обмен, и поток, излучаемый Землей, стремится быть равен поглощенному потоку, близкому к установившемуся состоянию, когда:

${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi R_{\oplus }^{2}\sigma T_{\oplus }^{4}&=\pi R_{\oplus }^{2}\times E_{\oplus }\\&=\pi R_{\oplus }^{2}\times {\frac {4\pi R_{\odot }^{2}\sigma T_{\odot }^{4}}{4\pi a_{0}^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Т_⊕ затем можно найти:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{\oplus }^{4}&={\frac {R_{\odot }^{2}T_{\odot }^{4}}{4a_{0}^{2}}}\\T_{\oplus }&=T_{\odot }\times {\sqrt {\frac {R_{\odot }}{2a_{0}}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}}$

где Т_⊙ это температура Солнца, р_⊙ радиус Солнца, и а₀ это расстояние между Землей и Солнцем. Это дает эффективную температуру на поверхности Земли 6 ° C при условии, что она отлично поглощает все падающие на нее выбросы и не имеет атмосферы.

Земля имеет альбедо 0,3, что означает, что 30% солнечной радиации, попадающей на планету, рассеивается обратно в космос без поглощения. Влияние альбедо на температуру можно приблизительно оценить, если предположить, что поглощенная энергия умножена на 0,7, но что планета все еще излучает как черное тело (последнее по определению эффективная температура, что мы и рассчитываем). Это приближение снижает температуру в 0,7 раза.^1/4, что дает 255 К (-18 ° C).^[14][15]

Вышеупомянутая температура - это температура Земли, видимая из космоса, а не температура земли, а средняя по всем излучающим телам Земли от поверхности до большой высоты. Из-за парниковый эффект фактическая средняя температура поверхности Земли составляет около 288 К (15 ° C), что выше, чем эффективная температура 255 К, и даже выше, чем температура 279 К, которую могло бы иметь черное тело.

В приведенном выше обсуждении мы предположили, что вся поверхность Земли имеет одну температуру. Другой интересный вопрос состоит в том, чтобы задать вопрос, какова будет температура поверхности черного тела на Земле, если предположить, что она достигает равновесия с падающим на нее солнечным светом. Это, конечно, зависит от угла падения солнца на поверхность и от того, сколько воздуха прошло через солнечный свет. Когда солнце находится в зените, а поверхность горизонтальна, освещенность может достигать 1120 Вт / м.².^[16] Тогда закон Стефана – Больцмана дает температуру

${\displaystyle T=\left({\frac {1120{\text{ W/m}}^{2}}{\sigma }}\right)^{1/4}\approx 375{\text{ K}}}$

или 102 ° С. (Выше атмосферы результат еще выше: 394 К.) Мы можем думать о земной поверхности как о «пытающейся» достичь равновесной температуры в течение дня, но охлаждаемой атмосферой и «пытающейся» достичь равновесия со звездным светом. и, возможно, лунный свет ночью, но его согревает атмосфера.

Происхождение

Термодинамический вывод плотности энергии

Тот факт, что плотность энергии коробки с излучением пропорционально ${\displaystyle T^{4}}$ может быть получено с помощью термодинамики.^[17][18] Этот вывод использует соотношение между радиационное давление п и внутренняя энергия плотность ${\displaystyle u}$, отношение, которое можно показать используя форму электромагнитный тензор энергии-напряжения. Это отношение:

${\displaystyle p={\frac {u}{3}}.}$

Теперь из фундаментальное термодинамическое соотношение

${\displaystyle dU=T\,dS-p\,dV,}$

после деления на ${\displaystyle dV}$ и исправление ${\displaystyle T}$ :

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p.}$

Последнее равенство вытекает из следующего Отношение Максвелла:

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.}$

Из определения плотности энергии следует, что

${\displaystyle U=uV}$

где плотность энергии излучения зависит только от температуры, поэтому

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}=u.}$

Теперь равенство

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p,}$

после замены ${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}}$ и ${\displaystyle p}$ для соответствующих выражений можно записать как

${\displaystyle u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}}.}$

Поскольку частная производная ${\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}}$ можно выразить как отношение только между ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle T}$ (если изолировать его на одной стороне равенства), частная производная может быть заменена обычной производной. После разделения дифференциалов равенство принимает вид

${\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}},}$

что сразу приводит к ${\displaystyle u=AT^{4}}$, с участием ${\displaystyle A}$ как некоторая константа интегрирования.

Вывод из закона Планка

Вывод закона Стефана – Больцмана с помощью Закон планка.

Закон можно вывести, рассматривая небольшую квартиру черное тело поверхность, расходящаяся в полусферу. Этот вывод использует сферические координаты, с участием θ как зенитный угол и φ как азимутальный угол; а небольшая плоская поверхность черного тела лежит в плоскости xy, где θ = ^π/₂.

Интенсивность света, излучаемого поверхностью черного тела, определяется выражением Закон планка  :

${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}.}$

где

• ${\displaystyle I(\nu ,T)\,}$ это количество мощность за единицу площадь поверхности за единицу телесный угол за единицу частота излучается с частотой ${\displaystyle \nu \,}$ Черным телом при температуре Т.
• ${\displaystyle h\,}$ является Постоянная Планка
• ${\displaystyle c\,}$ это скорость света, и
• ${\displaystyle k\,}$ является Постоянная Больцмана.

Количество ${\displaystyle I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega }$ это мощность излучается поверхностью площадью A через телесный угол dΩ в диапазоне частот между ν и ν + dν.

Закон Стефана-Больцмана дает мощность, излучаемую на единицу площади излучающего тела:

${\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \cos \theta \,d\Omega \,}$

Обратите внимание, что косинус появляется потому, что черные тела Ламбертианский (т.е. они подчиняются Закон косинусов Ламберта ), что означает, что интенсивность, наблюдаемая вдоль сферы, будет фактической интенсивностью, умноженной на косинус зенитного угла. Чтобы вывести закон Стефана-Больцмана, мы должны интегрировать dΩ = грех (θ) dθ dφ по полусфере и интегрировать ν от 0 до ∞.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\varphi \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta \\&=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}}$

Затем мы подключаемся к я:

${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu }$

Чтобы вычислить этот интеграл, сделайте замену,

${\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}}$

который дает:

${\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.}$

Интеграл справа стандартный и имеет много названий: это частный случай Интеграл Бозе – Эйнштейна, то полилогарифм, или Дзета-функция Римана ${\displaystyle \zeta (s)}$. Значение интеграла ${\displaystyle 6\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$, что дает результат для идеальной поверхности черного тела:

${\displaystyle j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}$

Наконец, это доказательство началось только с рассмотрения небольшой плоской поверхности. Однако любой дифференцируемый Поверхность может быть аппроксимирована набором небольших плоских поверхностей. До тех пор, пока геометрия поверхности не заставляет черное тело повторно поглощать собственное излучение, полная излучаемая энергия является просто суммой энергий, излучаемых каждой поверхностью; а общая площадь поверхности - это просто сумма площадей каждой поверхности, поэтому этот закон выполняется для всех выпуклый черные тела тоже, пока поверхность имеет одинаковую температуру. Закон распространяется на излучение невыпуклых тел, используя тот факт, что выпуклая оболочка черного тела излучается, как если бы оно было черным телом.

Плотность энергии

Полная плотность энергии U могут быть рассчитаны аналогично, за исключением того, что интегрирование проводится по всей сфере и отсутствует косинус, а поток энергии (U c) следует разделить на скорость c дать плотность энергии U:

${\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int \,d\Omega \,}$

Таким образом ${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\cos \theta \sin \theta \,d\theta }$ заменяется на ${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$, что дает дополнительный коэффициент 4.

Таким образом, всего:

${\displaystyle U={\frac {4}{c}}\,\sigma \,T^{4}}$

Смотрите также

• Закон смещения Вина
• Закон Рэлея – Джинса
• Сияние
• Нульмерные модели
• Черное тело
• Уравнение Сакумы – Хаттори
• Радо фон Кёвеслигети

Заметки

1. Борен, Крейг Ф .; Хаффман, Дональд Р. (1998). Поглощение и рассеяние света мелкими частицами. Вайли. С. 123–126. ISBN  978-0-471-29340-8.
2. Нариманов, Евгений Е .; Смольянинов, Игорь И. (2012). "За пределами закона Стефана – Больцмана: теплопроводность". Конференция по лазерам и электрооптике 2012 г.. Технический дайджест OSA. Оптическое общество Америки. стр. QM2E.1. CiteSeerX  10.1.1.764.846. Дои:10.1364 / QELS.2012.QM2E.1. ISBN  978-1-55752-943-5. S2CID  36550833.
3. • Тиндаль, Джон (1864). «От светового [то есть видимого] и затемненного [то есть инфракрасного] излучения». Философский журнал. 4-я серия. 28: 329–341. ; см. стр. 333.
   В своем учебнике физики 1875 г. Адольф Вюлльнер процитировал результаты Тиндаля, а затем добавил оценки температуры, соответствующие цвету платиновой нити:
   • Вюлльнер, Адольф (1875). Lehrbuch der Experimentalphysik [Учебник экспериментальной физики] (на немецком). т. 3. Лейпциг, Германия: B.G. Teubner. п. 215.
   Из (Wüllner, 1875), стр. 215: "Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht, ... также быстро um das 12fache zu." (Как следует из экспериментов Дрейпера, которые будут обсуждаться в ближайшее время, температура около 525 ° [C] соответствует слабому красному свечению, а [температура] около 1200 ° [C] - полному белому свечению. Таким образом, (температура поднялась лишь немногим более чем вдвое, интенсивность излучения увеличилась с 10,4 до 122, т. е. почти в 12 раз).
   Смотрите также:
   • Висняк, Хайме (ноябрь 2002 г.). «Закон теплового излучения - от Ньютона до Стефана». Индийский журнал химической технологии. 9: 545–555. ; см. стр. 551–552. Доступны на: Национальный институт научных коммуникаций и информационных ресурсов (Нью-Дели, Индия)
4. Стефан, Дж. (1879). "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [О связи теплового излучения и температуры]. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe (Труды Императорской философской академии [Вены]: математический и научный класс) (на немецком). 79: 391–428.
5. Стефан заявил (Stefan, 1879), стр. 421: «Zuerst будет их hier die Bemerkung anführen,… die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperatur пропорционально anzunehmen». (Прежде всего, я хочу указать здесь на наблюдение, которое Вюлльнер в своем учебнике добавил к отчету об экспериментах Тиндаля по излучению платиновой проволоки, которая светилась электрическим током, потому что это наблюдение сначала заставило меня предположить, что тепловое излучение пропорционально четвертой степени абсолютной температуры.)
6. Больцман, Людвиг (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Вывод закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры из электромагнитной теории света]. Annalen der Physik und Chemie (на немецком). 258 (6): 291–294. Bibcode:1884АнП ... 258..291Б. Дои:10.1002 / andp.18842580616.
7. Массимилиано Бадино, Холмистая дорога: Макс Планк от теории излучения к квантовой (1896–1906) (2015), п. 31 год.
8. (Стефан, 1879), стр. 426–427.
9. Soret, JL (1872) «Сравнение интенсивности калорийности солнечного района и района с кислородным покрытием» [Сравнение интенсивности солнечного излучения и излучения тела, нагретого кислородно-водородной горелкой] , Archives des Sciences Physiques et Naturelles (Женева, Швейцария), 2-я серия, 44: 220–229  ; 45: 252–256.
10. "Информационный бюллетень Sun".
11. Уотерстон, Джон Джеймс (1862). «Отчет о наблюдениях за солнечной радиацией». Философский журнал. 4-я серия. 23 (2): 497–511. Bibcode:1861МНРАС..22 ... 60Вт. Дои:10.1093 / mnras / 22.2.60. На стр. 505, шотландский физик Джон Джеймс Уотерстон по оценкам, температура поверхности Солнца может составлять 12 880 000 °.
12. Увидеть:
    • Пуийе (1838). "Mémoire sur la chaleur solaire, sur les pouvoirs rayonnants et Absorbs de l'air atmosphérique, et sur la température de l'espace" [Мемуары о солнечном тепле, излучающей и поглощающей способности атмосферного воздуха и о температуре космоса]. Comptes Rendus (На французском). 7 (2): 24–65. На стр. 36, Пуийе оценивает температуру солнца: "… Cette température pourrait être de 1761 °…" (… Эта температура [то есть Солнца] могла быть 1761 °…)
    • Английский перевод: Pouillet (1838) «Воспоминания о солнечном тепле, излучающей и поглощающей способности атмосферного воздуха и о температуре космоса» в: Тейлор, Ричард, изд. (1846) Научные мемуары, избранные из трудов зарубежных академий наук и научных обществ, а также из зарубежных журналов. т. 4. Лондон, Англия: Ричард и Джон Э. Тейлор. С. 44–90; см. стр. 55–56.
13. «Сияние звезд». Австралийский телескоп и образование. Получено 2006-08-13.
14. Четвертый доклад об оценке Межправительственной группы экспертов по изменению климата. Глава 1: Исторический обзор науки об изменении климата стр.97
15. Солнечная радиация и энергетический баланс Земли
16. «Введение в солнечную радиацию». Корпорация Ньюпорт. В архиве с оригинала от 29 октября 2013 г.
17. Книжник, Кальман. «Вывод закона Стефана – Больцмана» (PDF). Университет Джона Хопкинса - факультет физики и астрономии. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2018-09-03.
18. (Wisniak, 2002), стр. 554.

использованная литература

• Стефан, Дж. (1879 г.), "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [О связи между тепловым излучением и температурой] (PDF), Sitzungsberichte der Mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften (на немецком), 79: 391–428
• Больцман, Л. (1884), "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Вывод небольшого закона Стефана о зависимости теплового излучения от температуры электромагнитной теории света], Annalen der Physik und Chemie (на немецком), 258 (6): 291–294, Bibcode:1884АнП ... 258..291Б, Дои:10.1002 / andp.18842580616