Расширение Зоммерфельда - Sommerfeld expansion

А Расширение Зоммерфельда является приближенным методом, разработанным Арнольд Зоммерфельд для определенного класса интегралы которые распространены в конденсированное вещество и статистическая физика. Физически интегралы представляют собой статистические средние значения с использованием Распределение Ферми – Дирака.

Когда обратная температура ${displaystyle eta }$ - большая величина, интеграл можно разложить^[1][2] с точки зрения ${displaystyle eta }$ так как

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {H(varepsilon )}{e^{eta (varepsilon -mu )}+1}},mathrm {d} varepsilon =int _{-infty }^{mu }H(varepsilon ),mathrm {d} varepsilon +{frac {pi ^{2}}{6}}left({frac {1}{eta }}ight)^{2}H^{prime }(mu )+Oleft({frac {1}{eta mu }}ight)^{4}}$

где ${displaystyle H^{prime }(mu )}$ используется для обозначения производной от ${displaystyle H(varepsilon )}$ оценивается в ${displaystyle varepsilon =mu }$ и где ${displaystyle O(x^{n})}$ обозначение относится к ограничивающему поведению порядка ${displaystyle x^{n}}$. Расширение допустимо, только если ${displaystyle H(varepsilon )}$ исчезает как ${displaystyle varepsilon ightarrow -infty }$ и идет не быстрее, чем полиномиально по ${displaystyle varepsilon }$ так как ${displaystyle varepsilon ightarrow infty }$.Если интеграл от нуля до бесконечности, то интеграл в первом члене разложения равен от нуля до бесконечности. ${displaystyle mu }$ и второй член без изменений.

Приложение к модели свободных электронов

Интегралы этого типа часто появляются при вычислении электронных свойств, например теплоемкость, в модель свободных электронов твердых тел. В этих расчетах указанный выше интеграл выражает математическое ожидание величины ${displaystyle H(varepsilon )}$. Тогда для этих интегралов можно отождествить ${displaystyle eta }$ как обратная температура и ${displaystyle mu }$ как химический потенциал. Следовательно, разложение Зоммерфельда справедливо для больших ${displaystyle eta }$ (низкий температура ) системы.

Приведение ко второму порядку по температуре

Мы ищем расширение второго порядка по температуре, т. Е. До ${displaystyle au ^{2}}$, где ${displaystyle eta ^{-1}= au =k_{B}T}$ это продукт температуры и Постоянная Больцмана. Начните с изменения переменных на ${displaystyle au x=varepsilon -mu }$:

${displaystyle I=int _{-infty }^{infty }{frac {H(varepsilon )}{e^{eta (varepsilon -mu )}+1}},mathrm {d} varepsilon = au int _{-infty }^{infty }{frac {H(mu + au x)}{e^{x}+1}},mathrm {d} x,,}$

Разделите диапазон интеграции, ${displaystyle I=I_{1}+I_{2}}$, и переписать ${displaystyle I_{1}}$ используя замену переменных ${displaystyle xightarrow -x}$:

${displaystyle I=underbrace { au int _{-infty }^{0}{frac {H(mu + au x)}{e^{x}+1}},mathrm {d} x} _{I_{1}}+underbrace { au int _{0}^{infty }{frac {H(mu + au x)}{e^{x}+1}},mathrm {d} x} _{I_{2}},.}$

${displaystyle I_{1}= au int _{-infty }^{0}{frac {H(mu + au x)}{e^{x}+1}},mathrm {d} x= au int _{0}^{infty }{frac {H(mu - au x)}{e^{-x}+1}},mathrm {d} x,}$

Затем воспользуйтесь алгебраическим трюком со знаменателем ${displaystyle I_{1}}$,

${displaystyle {frac {1}{e^{-x}+1}}=1-{frac {1}{e^{x}+1}},,}$

чтобы получить:

${displaystyle I_{1}= au int _{0}^{infty }H(mu - au x),mathrm {d} x- au int _{0}^{infty }{frac {H(mu - au x)}{e^{x}+1}},mathrm {d} x,}$

Вернитесь к исходным переменным с помощью ${displaystyle - au mathrm {d} x=mathrm {d} varepsilon }$ в первый срок ${displaystyle I_{1}}$. Объединить ${displaystyle I=I_{1}+I_{2}}$ чтобы получить:

${displaystyle I=int _{-infty }^{mu }H(varepsilon ),mathrm {d} varepsilon + au int _{0}^{infty }{frac {H(mu + au x)-H(mu - au x)}{e^{x}+1}},mathrm {d} x,}$

Числитель во втором члене может быть выражен как приближение к первой производной при условии, что ${displaystyle au }$ достаточно мала и ${displaystyle H(varepsilon )}$ достаточно гладкая:

${displaystyle Delta H=H(mu + au x)-H(mu - au x)approx 2 au xH'(mu )+cdots ,,}$

чтобы получить,

${displaystyle I=int _{-infty }^{mu }H(varepsilon ),mathrm {d} varepsilon +2 au ^{2}H'(mu )int _{0}^{infty }{frac {xmathrm {d} x}{e^{x}+1}},}$

Определенный интеграл известен^[3] быть:

${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {xmathrm {d} x}{e^{x}+1}}={frac {pi ^{2}}{12}}}$.

Следовательно,

${displaystyle I=int _{-infty }^{infty }{frac {H(varepsilon )}{e^{eta (varepsilon -mu )}+1}},mathrm {d} varepsilon approx int _{-infty }^{mu }H(varepsilon ),mathrm {d} varepsilon +{frac {pi ^{2}}{6eta ^{2}}}H'(mu ),}$

Члены высшего порядка и производящая функция

Мы можем получить члены более высокого порядка в разложении Зоммерфельда, используя производящую функцию для моментов распределения Ферми. Это дается

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}e^{ au epsilon /2pi }left{{frac {1}{1+e^{eta (epsilon -mu )}}}- heta (-epsilon )ight}={frac {1}{ au }}left{{frac {({frac { au T}{2}})}{sin({frac { au T}{2}})}}e^{ au mu /2pi }-1ight},quad 0< au T/2pi <1.}$

Здесь ${displaystyle k_{m {B}}T=eta ^{-1}}$ и ступенчатая функция Хевисайда ${displaystyle - heta (-epsilon )}$ вычитает расходящийся вклад при нулевой температуре. ${displaystyle au }$ дает, например ^[4]

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}left{{frac {1}{1+e^{eta (epsilon -mu )}}}- heta (-epsilon )ight}=left({frac {mu }{2pi }}ight),}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}left({frac {epsilon }{2pi }}ight)left{{frac {1}{1+e^{eta (epsilon -mu )}}}- heta (-epsilon )ight}={frac {1}{2!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{2}+{frac {T^{2}}{4!}},}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}{frac {1}{2!}}left({frac {epsilon }{2pi }}ight)^{2}left{{frac {1}{1+e^{eta (epsilon -mu )}}}- heta (-epsilon )ight}={frac {1}{3!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{3}+left({frac {mu }{2pi }}ight){frac {T^{2}}{4!}},}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}{frac {1}{3!}}left({frac {epsilon }{2pi }}ight)^{3}left{{frac {1}{1+e^{eta (epsilon -mu )}}}- heta (-epsilon )ight}={frac {1}{4!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{4}+{frac {1}{2!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{2}{frac {T^{2}}{4!}}+{frac {7}{8}}{frac {T^{4}}{6!}},}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}{frac {1}{4!}}left({frac {epsilon }{2pi }}ight)^{4}left{{frac {1}{1+e^{eta (epsilon -mu )}}}- heta (-epsilon )ight}={frac {1}{5!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{5}+{frac {1}{3!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{3}{frac {T^{2}}{4!}}+left({frac {mu }{2pi }}ight){frac {7}{8}}{frac {T^{4}}{6!}},}$

${displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}{frac {1}{5!}}left({frac {epsilon }{2pi }}ight)^{5}left{{frac {1}{1+e^{eta (epsilon -mu )}}}- heta (-epsilon )ight}={frac {1}{6!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{6}+{frac {1}{4!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{4}{frac {T^{2}}{4!}}+{frac {1}{2!}}left({frac {mu }{2pi }}ight)^{2}{frac {7}{8}}{frac {T^{4}}{6!}}+{frac {31}{24}}{frac {T^{6}}{8!}}.}$

Аналогичная производящая функция для нечетных моментов функции Бозе имеет вид ${displaystyle int _{0}^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}sinh(epsilon au /pi ){frac {1}{e^{eta epsilon }-1}}={frac {1}{4 au }}left{1-{frac { au T}{ an au T}}ight},quad 0< au T<pi .}$

Примечания

1. Эшкрофт и Мермин 1976, п. 760 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAshcroft _ & _ Mermin1976 (Помогите).
2. Фабиан, Дж. «Расширение Зоммерфельда» (PDF). Universitaet Regensburg. Получено 2016-02-08.
3. «Определенные интегралы, содержащие экспоненциальные функции». SOS Math. Получено 2016-02-08.
4. Р. Логанаягам, П. Сурувка (2012). «Аномалия / Перенос в идеальном газе Вейля». JHEP. 2012 (4): 2012:97. arXiv:1201.2812. Bibcode:2012JHEP ... 04..097L. CiteSeerX  10.1.1.761.5605. Дои:10.1007 / JHEP04 (2012) 097. S2CID  118841274.

Рекомендации

• Зоммерфельд, А. (1928). "Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik". Zeitschrift für Physik. 47 (1–2): 1–3. Bibcode:1928ZPhy ... 47 .... 1S. Дои:10.1007 / BF01391052. S2CID  116911592.
• Эшкрофт, Нил У .; Мермин, Н. Давид (1976). Физика твердого тела. Томсон обучения. п.760. ISBN  978-0-03-083993-1.