Термодинамическая бета - Thermodynamic beta

SI Шкала преобразования температуры / холода: температуры в шкале Кельвина показаны синим (шкала Цельсия - зеленым, шкала Фаренгейта - красным), значения холода в гигабайтах на наноджоуль показаны черным. Бесконечная температура (ноль холода) показана вверху диаграммы; положительные значения холода / температуры находятся справа, отрицательные значения - слева.

В статистическая термодинамика, термодинамическая бета, также известный как холодность, является обратной величиной термодинамическая температура системы:

${ displaystyle beta = { frac {1} {k _ { rm {B}} T}}}$ (куда $Т$ это температура и $k B$ является Постоянная Больцмана ).^[1]

Первоначально он был представлен в 1971 году (как Kältefunktion "функция холода") по Инго Мюллер [де ], один из сторонников рациональная термодинамика школа мысли,^[2] на основе более ранних предложений о функции «обратной температуры».^[3]^[4]

Термодинамический бета имеет единицы, обратные энергии (в Единицы СИ, ${ displaystyle [ beta] = { textrm {J}} ^ {- 1}}$ ). В нетепловых единицах это также может быть измерено в байт на джоуль, или, что более удобно, гигабайт на наноджоуль;^[5] 1 тыс.⁻¹ эквивалентно примерно 13 062 гигабайтам на наноджоуль; при комнатной температуре: $Т$ = 300К, β ≈ 44 ГБ / нДж ≈ 39 эВ⁻¹ ≈ 2.4×10²⁰ J⁻¹. Коэффициент пересчета составляет 1 ГБ / нДж = ${ displaystyle 8 ln 2 times 10 ^ {18}}$ J⁻¹.

Описание

Термодинамическая бета - это, по сути, связь между теория информации и статистическая механика интерпретация физической системы через ее энтропия и термодинамика связанный с его энергия. Он выражает реакцию энтропии на увеличение энергии. Если в системе задействовано небольшое количество энергии, то β описывает сумму, которую система будет рандомизировать.

Статистическое определение температуры как функции энтропии позволяет вычислить функцию холода в микроканонический ансамбль из формулы

{ displaystyle beta = { frac {1} {k _ { rm {B}} T}} , = { frac {1} {k _ { rm {B}}}} left ({ frac { partial S} { partial E}} right) _ {V, N}}

(т.е. частная производная энтропии $S$ относительно энергии $E$ при постоянной громкости $V$ и количество частиц $N$ ).

Преимущества

Хотя концептуальное содержание полностью эквивалентно температуре, $β$ обычно считается более фундаментальной величиной, чем температура, из-за явления отрицательная температура, в котором $β$ непрерывна, поскольку она пересекает ноль, тогда как $Т$ имеет особенность.^[6]

К тому же, $β$ имеет то преимущество, что его легче понять причинно: если в систему добавлено небольшое количество тепла, $β$ есть увеличение энтропии, деленное на увеличение тепла. Температуру трудно интерпретировать в том же смысле, поскольку невозможно «добавить энтропию» к системе, кроме как косвенно, путем изменения других величин, таких как температура, объем или количество частиц.

Статистическая интерпретация

Со статистической точки зрения, β - числовая величина, связывающая две макроскопические системы в равновесии. Точная формулировка следующая. Рассмотрим две системы 1 и 2 в тепловом контакте с соответствующими энергиями E₁ и E₂. Мы предполагаем E₁ + E₂ = некоторая константа E. Количество микросостояния каждой системы обозначим через Ω₁ и Ω₂. В наших предположениях Ω_я зависит только от E_я. Мы также предполагаем, что любое микросостояние системы 1, совместимое с E₁ может сосуществовать с любым микросостоянием системы 2, совместимым с E₂. Таким образом, количество микросостояний для объединенной системы равно

{ displaystyle Omega = Omega _ {1} (E_ {1}) Omega _ {2} (E_ {2}) = Omega _ {1} (E_ {1}) Omega _ {2} ( E-E_ {1}). ,}

Мы выведем β от фундаментальное предположение статистической механики:

Когда комбинированная система достигает равновесия, число Ω увеличивается до максимума.

(Другими словами, система естественным образом ищет максимальное количество микросостояний.) Следовательно, в состоянии равновесия

{ displaystyle { frac {d} {dE_ {1}}} Omega = Omega _ {2} (E_ {2}) { frac {d} {dE_ {1}}} Omega _ {1} (E_ {1}) + Omega _ {1} (E_ {1}) { frac {d} {dE_ {2}}} Omega _ {2} (E_ {2}) cdot { frac { dE_ {2}} {dE_ {1}}} = 0.}

Но E₁ + E₂ = E подразумевает

{ displaystyle { frac {dE_ {2}} {dE_ {1}}} = - 1.}

Так

{ displaystyle Omega _ {2} (E_ {2}) { frac {d} {dE_ {1}}} Omega _ {1} (E_ {1}) - Omega _ {1} (E_ { 1}) { frac {d} {dE_ {2}}} Omega _ {2} (E_ {2}) = 0}

т.е.

{ displaystyle { frac {d} {dE_ {1}}} ln Omega _ {1} = { frac {d} {dE_ {2}}} ln Omega _ {2} quad { mbox {в состоянии равновесия.}}}

Вышеупомянутое соотношение мотивирует определение β:

{ displaystyle beta = { frac {d ln Omega} {dE}}.}

Связь статистического представления с термодинамическим представлением

Когда две системы находятся в равновесии, они имеют одинаковые термодинамическая температура Т. Таким образом, интуитивно можно было ожидать β (как определено через микросостояния), чтобы быть связанным с Т каким-то образом. Эта ссылка обеспечивается фундаментальным предположением Больцмана, записанным как