Порядок пути - Path-ordering

Эта статья о преобразовании произведения операторов в физике. Для правильного упорядочивания в математических терминах см. Упорядочивание путей (переписывание терминов).

В теоретическая физика, порядок путей это процедура (или мета-оператор ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$), который упорядочивает продукт операторов в соответствии со значением выбранной параметр:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

Здесь п это перестановка который упорядочивает параметры по значению:

${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

Например:

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).}$

Примеры

Если оператор не просто выражается как продукт, а как функция другого оператора, мы должны сначала выполнить Расширение Тейлора этой функции. Это случай Петля Вильсона, который определяется как путь-упорядоченная экспонента чтобы гарантировать, что цикл Вильсона кодирует голономия из соединение манометра. Параметр σ который определяет порядок, является параметром, описывающим контур, и поскольку контур замкнут, петлю Вильсона необходимо определить как след для того, чтобы быть калибровочно-инвариантный.

Заказ времени

В квантовая теория поля полезно взять по расписанию произведение операторов. Эта операция обозначается ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. (Несмотря на то что ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ часто называют «оператором временного порядка», строго говоря, это не оператор по штатам и супероператор по операторам.) ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ переменная в размерности 4, как у черной дыры, но постоянная в размерности 3.^{[требуется разъяснение ]}Для двух операторов А(Икс) и B(у), которые зависят от пространственно-временных местоположений x и y, мы определяем:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}}$

Здесь ${\displaystyle \tau _{x}}$ и ${\displaystyle \tau _{y}}$ обозначить инвариантный скалярные координаты времени точек x и y.^[1]

Явно мы имеем

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),}$

куда ${\displaystyle \theta }$ обозначает Ступенчатая функция Хевисайда и ${\displaystyle \pm }$ зависит от того, являются ли операторы бозонный или же фермионный в природе. Если бозонный, то всегда выбирается знак +, если фермионный, то знак будет зависеть от количества замен операторов, необходимых для достижения надлежащего временного порядка. Обратите внимание, что статистические факторы сюда не входят.

Поскольку операторы зависят от своего местоположения в пространстве-времени (то есть не только во времени), эта операция упорядочения по времени не зависит от координат только в том случае, если операторы в космический отдельные точки ездить. Вот почему необходимо использовать ${\displaystyle \tau }$ скорее, чем ${\displaystyle t_{0}}$, поскольку ${\displaystyle t_{0}}$ обычно указывает зависимый от координаты временный индекс точки пространства-времени. Обратите внимание, что временное упорядочение обычно записывается с увеличением аргумента времени справа налево.

В общем, для продукта п полевые операторы А₁(т₁), …, А_п(т_п) Упорядоченный по времени продукт операторов определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}\\[4pt]={}&\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}}$

где сумма бегает по всему п'с и более симметричная группа из п степени перестановки и

${\displaystyle \varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{for bosonic operators,}}\\{\text{sign of the permutation}}&{\text{for fermionic operators.}}\end{cases}}}$

В S-матрица в квантовая теория поля является примером продукта, заказанного по времени. S-матрица, преобразующая состояние при т = −∞ в состояние т = +∞, можно также рассматривать как своего рода "голономия ", аналогично Петля Вильсона. Мы получаем упорядоченное по времени выражение по следующей причине:

Начнем с этой простой формулы для экспоненты

${\displaystyle \exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.}$

Теперь рассмотрим дискретизированный оператор эволюции

${\displaystyle S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots }$

куда ${\displaystyle 1+h_{j}}$ - оператор эволюции на бесконечно малом интервале времени ${\displaystyle [j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]}$. Членами более высокого порядка можно пренебречь в пределе ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$. Оператор ${\displaystyle h_{j}}$ определяется

${\displaystyle h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).}$

Обратите внимание, что операторы эволюции за «прошлые» временные интервалы появляются в правой части продукта. Мы видим, что формула аналогична указанному выше тождеству, которому удовлетворяет экспонента, и мы можем написать

${\displaystyle S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).}$

Единственная тонкость, которую нам пришлось добавить, - это оператор упорядочивания по времени. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ потому что факторы в продукте, определяющие S выше также были упорядочены по времени (и операторы обычно не коммутируют), а оператор ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ гарантирует, что этот порядок будет сохранен.

Смотрите также

• Порядковый экспоненциальный (по сути та же концепция)
• Калибровочная теория
• S-матрица

Рекомендации

1. Стивен Вайнберг, Квантовая теория полей, Vol. 3, Cambridge University Press, 1995 г., ISBN  0-521-55001-7, п. 143.