Порядковый экспоненциальный - Ordered exponential

В упорядоченная экспонента, также называемый экспонента с упорядоченным по пути, это математический операция, определенная в некоммутативный алгебры, что эквивалентно экспоненциальный из интеграл в коммутативный алгебры. На практике упорядоченная экспонента используется в матрица и оператор алгебры.

Определение

Позволять А быть алгебра через настоящий или же сложный поле K, и а(т) быть параметризованный элемент А,

${\displaystyle a:K\to A.\,}$

Параметр т в а(т) часто называют параметр времени в контексте.

Упорядоченная экспонента а обозначается

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {OE} [a](t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}\cdots \int _{0}^{t}{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\,dt'_{1}\cdots dt'_{n}\\&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}\int _{0}^{t'_{n}}\int _{0}^{t'_{n-1}}\cdots \int _{0}^{t'_{2}}a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\,dt'_{1}\cdots dt'_{n-2}dt'_{n-1}dt'_{n}\end{aligned}}}$

где термин п = 0 равно 1 и где ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ - это операция высшего порядка, которая обеспечивает равенство экспоненты по расписанию: любой продукт а(т), который появляется в разложении экспоненты, необходимо упорядочить так, чтобы значение т увеличивается справа налево от продукта; схематический пример:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}$

Это ограничение необходимо, поскольку произведения в алгебре не обязательно коммутативны.

Операция отображает параметризованный элемент на другой параметризованный элемент или символически,

${\displaystyle \operatorname {OE} {\mathrel {:}}\left(K\to A\right)\to \left(K\to A\right).}$

Есть несколько способов более строго определить этот интеграл.

Произведение экспонент

Упорядоченную экспоненту можно определить как левую интеграл продукта из бесконечно малый экспоненты, или, что то же самое, как заказанный продукт экспонент в предел по мере роста числа членов до бесконечности:

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\equiv \lim _{N\rightarrow \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)}$

где моменты времени {т₀, …, т_N} определяются как т_я ≡ я Δт за я = 0, …, N, и Δт ≡ т / N.

Упорядоченная экспонента на самом деле геометрический интеграл.^{[1][2] [3]}

Решение дифференциального уравнения

Упорядоченная экспонента - единственное решение проблема начального значения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} [a](t)&=a(t)\operatorname {OE} [a](t),\\[5pt]\operatorname {OE} [a](0)&=1.\end{aligned}}}$

Решение интегрального уравнения

Упорядоченная экспонента - это решение интегральное уравнение:

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatorname {OE} [a](t')\,dt'.}$

Это уравнение эквивалентно предыдущей задаче начального значения.

Бесконечное расширение серии

Упорядоченную экспоненту можно определить как бесконечную сумму,

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t}\int _{0}^{t_{1}}a(t_{1})a(t_{2})\,dt_{2}\,dt_{1}+\cdots .}$

Это можно получить, рекурсивно подставив интегральное уравнение в себя.

Пример

Учитывая многообразие ${\displaystyle M}$ где для ${\displaystyle e\in TM}$ с группа трансформация ${\displaystyle g:e\mapsto ge}$ он держится в точке ${\displaystyle x\in M}$:

${\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.}$

Здесь, ${\displaystyle d}$ обозначает внешняя дифференциация и ${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$ - оператор связи (поле 1-формы), действующий на ${\displaystyle e(x)}$. При интегрировании приведенного выше уравнения оно выполняется (теперь ${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$ - оператор связи, выраженный в координатном базисе)

${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$

с оператором упорядочивания путей ${\displaystyle \operatorname {P} }$ который упорядочивает факторы в порядке пути ${\displaystyle \gamma (t)\in M}$. Для особого случая, когда ${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$ является антисимметричный оператор и ${\displaystyle \gamma }$ бесконечно малый прямоугольник с длинами ребер ${\displaystyle |u|,|v|}$ и углы в точках ${\displaystyle x,x+u,x+u+v,x+v,}$ Вышеприведенное выражение упрощается следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}}$

Следовательно, в нем выполняется тождество группового преобразования ${\displaystyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$. Если ${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$ является гладкой связью, расширяющей указанную выше величину до второго порядка в бесконечно малых количествах ${\displaystyle |u|,|v|}$ для упорядоченной экспоненты получается тождество с поправочным членом, пропорциональным тензор кривизны.

Смотрите также

• Порядок следования (по сути та же концепция)
• Расширение Магнуса
• Интеграл продукта
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Неопределенный продукт
• Фрактальная производная

Рекомендации

1. Майкл Гроссман и Роберт Кац. Неньютоновское исчисление, ISBN  0912938013, 1972.
2. А. Э. Баширов, Э. М. Курпынар, А. Озяпичи. Мультипликативное исчисление и его приложения, Журнал математического анализа и приложений, 2008.
3. Люк Флорак и Ханс ван Ассен.«Мультипликативное исчисление в биомедицинском анализе изображений», Журнал математической визуализации и зрения, 2011.

внешняя ссылка

• Сайт неньютоновского исчисления