Расширение Магнуса - Magnus expansion

В математика и физика, то Расширение Магнуса, названный в честь Вильгельм Магнус (1907–1990), дает экспоненциальное представление решения однородной линейное дифференциальное уравнение для линейный оператор. В частности, он снабжает фундаментальная матрица системы линейных обыкновенные дифференциальные уравнения порядка п с различными коэффициентами. Показатель агрегирован как бесконечный ряд, члены которого включают множественные интегралы и вложенные коммутаторы.

Детерминированный случай

Подход Магнуса и его интерпретация

Учитывая п × п матрица коэффициентов А(т), хочется решить начальная задача связанное с линейным обыкновенным дифференциальным уравнением

${displaystyle Y'(t)=A(t)Y(t),quad Y(t_{0})=Y_{0}}$

для неизвестного п-мерная векторная функция Y(т).

Когда п = 1, решение просто читает

${displaystyle Y(t)=exp left(int _{t_{0}}^{t}A(s),dsight)Y_{0}.}$

Это все еще действительно для п > 1, если матрица А(т) удовлетворяет А(т₁) А(т₂) = А(т₂) А(т₁) для любой пары значений т, т₁ и т₂. В частности, это так, если матрица А не зависит от т. Однако в общем случае приведенное выше выражение уже не является решением проблемы.

Подход, предложенный Магнусом для решения матричной начальной задачи, заключается в выражении решения с помощью экспоненты некоторого п × п матричная функция Ω (т, т₀):

${displaystyle Y(t)=exp {ig (}Omega (t,t_{0}){ig )},Y_{0},}$

который впоследствии строится как серии расширение:

${displaystyle Omega (t)=sum _{k=1}^{infty }Omega _{k}(t),}$

где для простоты принято писать Ω (т) за Ω (т, т₀) и взять т₀ = 0.

Магнус это оценил, поскольку (^d⁄_dt е^Ω) е^−Ω = А(т), используя Пуанкаре-Хаусдорф матричного тождества, он мог связать производную по времени от Ω к производящей функции Числа Бернулли и присоединенный эндоморфизм из Ω,

${displaystyle Omega '={frac {operatorname {ad} _{Omega }}{exp(operatorname {ad} _{Omega })-1}}A,}$

решить для Ω рекурсивно с точки зрения А "в непрерывном аналоге Расширение CBH ", как описано в следующем разделе.

Вышеприведенное уравнение составляет Расширение Магнуса, или же Серия Магнус, для решения матричной линейной начальной задачи. Первые четыре термина этой серии гласят

${displaystyle {egin{aligned}Omega _{1}(t)&=int _{0}^{t}A(t_{1}),dt_{1},Omega _{2}(t)&={frac {1}{2}}int _{0}^{t}dt_{1}int _{0}^{t_{1}}dt_{2},[A(t_{1}),A(t_{2})],Omega _{3}(t)&={frac {1}{6}}int _{0}^{t}dt_{1}int _{0}^{t_{1}}dt_{2}int _{0}^{t_{2}}dt_{3},{Bigl (}{ig [}A(t_{1}),[A(t_{2}),A(t_{3})]{ig ]}+{ig [}A(t_{3}),[A(t_{2}),A(t_{1})]{ig ]}{Bigr )},Omega _{4}(t)&={frac {1}{12}}int _{0}^{t}dt_{1}int _{0}^{t_{1}}dt_{2}int _{0}^{t_{2}}dt_{3}int _{0}^{t_{3}}dt_{4},{iggl (}{Big [}{ig [}[A_{1},A_{2}],A_{3}{ig ]},A_{4}{Big ]}&qquad +{Big [}A_{1},{ig [}[A_{2},A_{3}],A_{4}{ig ]}{Big ]}+{Big [}A_{1},{ig [}A_{2},[A_{3},A_{4}]{ig ]}{Big ]}+{Big [}A_{2},{ig [}A_{3},[A_{4},A_{1}]{ig ]}{Big ]}{iggr )},end{aligned}}}$

куда [А, B] ≡ А B − B А это матрица коммутатор из А и B.

Эти уравнения можно интерпретировать следующим образом: Ω₁(т) в точности совпадает с показателем в скаляре (п = 1), но это уравнение не может дать полного решения. Если кто-то настаивает на экспоненциальном представлении (Группа Ли ), необходимо исправить показатель степени. Остальная часть серии Magnus систематически обеспечивает такую ​​коррекцию: Ω или его части находятся в Алгебра Ли из Группа Ли на решение.

В приложениях редко удается точно суммировать ряд Магнуса, и для получения приближенных решений его необходимо усечь. Основное преимущество предложения Магнуса состоит в том, что усеченный ряд очень часто разделяет важные качественные свойства с точным решением, в отличие от других традиционных возмущение теории. Например, в классическая механика то симплектический характер эволюция во времени сохраняется при каждом порядке приближения. Точно так же унитарный характер оператора временной эволюции в квантовая механика также сохраняется (в отличие, например, от Серия Дайсон решение той же проблемы).

Сходимость расширения

С математической точки зрения проблема сходимости заключается в следующем: при заданной матрице А(т), когда показатель степени Ω (т) получить как сумму ряда Магнуса?

Достаточное условие для этого ряда сходиться за т ∈ [0,Т) является

${displaystyle int _{0}^{T}|A(s)|_{2},ds<pi ,}$

куда ${displaystyle |cdot |_{2}}$ обозначает матричная норма. Этот результат является общим в том смысле, что можно построить определенные матрицы А(т) для которых ряд расходится при любом т > Т.

Генератор магнуса

Рекурсивная процедура для генерации всех членов в разложении Магнуса использует матрицы S_п^(k) определяется рекурсивно через

${displaystyle S_{n}^{(j)}=sum _{m=1}^{n-j}left[Omega _{m},S_{n-m}^{(j-1)}ight],quad 2leq jleq n-1,}$

${displaystyle S_{n}^{(1)}=left[Omega _{n-1},Aight],quad S_{n}^{(n-1)}=operatorname {ad} _{Omega _{1}}^{n-1}(A),}$

которые затем предоставляют

${displaystyle Omega _{1}=int _{0}^{t}A( au ),d au ,}$

${displaystyle Omega _{n}=sum _{j=1}^{n-1}{frac {B_{j}}{j!}}int _{0}^{t}S_{n}^{(j)}( au ),d au ,quad ngeq 2.}$

Он прочитал^k_Ω является сокращением для итерированного коммутатора (см. присоединенный эндоморфизм ):

${displaystyle operatorname {ad} _{Omega }^{0}A=A,quad operatorname {ad} _{Omega }^{k+1}A=[Omega ,operatorname {ad} _{Omega }^{k}A],}$

пока B_j являются Числа Бернулли с B₁ = −1/2.

Наконец, когда эта рекурсия разработана явно, можно выразить Ω_п(т) как линейная комбинация п-кратные интегралы от п - 1 вложенных коммутаторов с п матрицы А:

${displaystyle Omega _{n}(t)=sum _{j=1}^{n-1}{frac {B_{j}}{j!}}sum _{k_{1}+cdots +k_{j}=n-1 atop k_{1}geq 1,ldots ,k_{j}geq 1}int _{0}^{t}operatorname {ad} _{Omega _{k_{1}}( au )}operatorname {ad} _{Omega _{k_{2}}( au )}cdots operatorname {ad} _{Omega _{k_{j}}( au )}A( au ),d au ,quad ngeq 2,}$

который становится все более сложным с п.

Стохастический случай

Распространение на стохастические обыкновенные дифференциальные уравнения

Для распространения на стохастический случай пусть ${ extstyle left(W_{t}ight)_{tin [0,T]}}$ быть ${ extstyle mathbb {R} ^{q}}$-размерный Броуновское движение, ${ extstyle qin mathbb {N} _{>0}}$, на вероятностное пространство ${ extstyle left(Omega ,{mathcal {F}},mathbb {P} ight)}$с конечным временным горизонтом ${ extstyle T>0}$ и естественная фильтрация. Теперь рассмотрим линейное матричное стохастическое дифференциальное уравнение Ито (с соглашением Эйнштейна о суммировании по индексу j)

${displaystyle dX_{t}=B_{t}X_{t}dt+A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},quad X_{0}=I_{d},qquad din mathbb {N} _{>0},}$

куда ${ extstyle B_{cdot },A_{cdot }^{(1)},dots ,A_{cdot }^{(j)}}$ постепенно измеримы ${ extstyle d imes d}$-значный ограниченный случайные процессы и ${ extstyle I_{d}}$ это единичная матрица. Следуя тому же подходу, что и в детерминированном случае с изменениями из-за стохастической настройки^[1] соответствующий матричный логарифм окажется как процесс Ито, первые два порядка разложения которого задаются формулой ${ extstyle Y_{t}^{(1)}=Y_{t}^{(1,0)}+Y_{t}^{(0,1)}}$ и ${ extstyle Y_{t}^{(2)}=Y_{t}^{(2,0)}+Y_{t}^{(1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$, при этом соглашение Эйнштейна о суммировании по я и j

${displaystyle {egin{aligned}Y_{t}^{(0,0)}&=0,Y_{t}^{(1,0)}&=int _{0}^{t}A_{s}^{(j)}dW_{s}^{j},Y_{t}^{(0,1)}&=int _{0}^{t}B_{s}ds,Y_{t}^{(2,0)}&=-{frac {1}{2}}int _{0}^{t}{ig (}A_{s}^{(j)}{ig )}^{2}ds+{frac {1}{2}}int _{0}^{t}{Big [}A_{s}^{(j)},int _{0}^{s}A_{r}^{(i)}d{W_{r}^{i}}{Big ]}dW_{s}^{j},Y_{t}^{(1,1)}&={frac {1}{2}}int _{0}^{t}{Big [}B_{s},int _{0}^{s}A_{r}^{(j)}dW_{r}{Big ]}ds+{frac {1}{2}}int _{0}^{t}{Big [}A_{s}^{(j)},int _{0}^{s}B_{r}dr{Big ]}dW_{s}^{j},Y_{t}^{(0,2)}&={frac {1}{2}}int _{0}^{t}{Big [}B_{s},int _{0}^{s}B_{r}dr{Big ]}ds.end{aligned}}}$

Сходимость расширения

В стохастической настройке сходимость теперь будет зависеть от время остановки ${ extstyle au }$ и первый результат сходимости определяется выражением:^[2]

При предыдущем предположении о коэффициентах существует сильное решение ${ extstyle X=(X_{t})_{tin [0,T]}}$, а также строго положительное время остановки ${ extstyle au leq T}$ такой, что:

1. ${ extstyle X_{t}}$ имеет настоящий логарифм ${ extstyle Y_{t}}$ до времени ${ extstyle au }$, т.е.
   

   ${displaystyle X_{t}=e^{Y_{t}},qquad 0leq t< au ;}$

2. имеет место следующее представление ${ extstyle mathbb {P} }$-почти обязательно:
   

   ${displaystyle Y_{t}=sum _{n=0}^{infty }Y_{t}^{(n)},qquad 0leq t< au ,}$
   

   куда ${ extstyle Y^{(n)}}$ это п-й член в стохастическом разложении Магнуса, как определено ниже в формуле разложения Магнуса в подразделе;

3. существует положительная постоянная C, зависит только от ${ extstyle |A^{(1)}|_{T},dots ,|A^{(q)}|_{T},|B|_{T},T,d}$, с ${ extstyle |A_{cdot }|_{T}=||A_{t}|_{F}|_{L^{infty }(Omega imes [0,T])}}$, так что
   

   ${displaystyle mathbb {P} ( au leq t)leq Ct,qquad tin [0,T].}$

Формула разложения Магнуса

Общая формула разложения для стохастического разложения Магнуса задается следующим образом:

${displaystyle Y_{t}=sum _{n=0}^{infty }Y_{t}^{(n)}quad { ext{with}}quad Y_{t}^{(n)}:=sum _{r=0}^{n}Y_{t}^{(r,n-r)},}$

где общий термин ${ extstyle Y^{(r,n-r)}}$ это процесс Ито в форме:

${displaystyle Y_{t}^{(r,n-r)}=int _{0}^{t}mu _{s}^{r,n-r}ds+int _{0}^{t}sigma _{s}^{r,n-r,j}dW_{s}^{j},qquad nin mathbb {N} _{0}, r=0,dots ,n,}$

Условия ${ extstyle sigma ^{r,n-r,j},mu ^{r,n-r}}$ рекурсивно определяются как

${displaystyle {egin{aligned}sigma _{s}^{r,n-r,j}&:=sum _{i=0}^{n-1}{frac {eta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,n-r,i}{ig (}A^{(j)}{ig )},mu _{s}^{r,n-r}&:=sum _{i=0}^{n-1}{frac {eta _{i}}{i!}}S_{s}^{r,n-r-1,i}(B)-{frac {1}{2}}sum _{j=1}^{q}sum _{i=0}^{n-2}{frac {eta _{i}}{i!}}sum _{q_{1}=2}^{r}sum _{q_{2}=0}^{n-r}S^{r-q_{1},n-r-q_{2},i}{ig (}Q^{q_{1},q_{2},j}{ig )},end{aligned}}}$

с

${displaystyle {egin{aligned}Q_{s}^{q_{1},q_{2},j}:=sum _{i_{1}=2}^{q_{1}}sum _{i_{2}=0}^{q_{2}}sum _{h_{1}=1}^{i_{1}-1}sum _{h_{2}=0}^{i_{2}}&sum _{p_{1}=0}^{q_{1}-i_{1}}sum _{{p_{2}}=0}^{q_{2}-i_{2}} sum _{m_{1}=0}^{p_{1}+p_{2}} sum _{{m_{2}}=0}^{q_{1}-i_{1}-p_{1}+q_{2}-i_{2}-p_{2}}&{Bigg (}{{frac {S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{ig (}sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{ig )}}{({m_{1}}+1)!}}{frac {S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{ig (}sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{ig )}}{({m_{2}}+1)!}}}&qquad qquad +{frac {{ig [}S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{ig (}sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{ig )},S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{ig (}sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{ig )}{ig ]}}{({m_{1}}+{m_{2}}+2)({m_{1}}+1)!{m_{2}}!}}{Bigg )},end{aligned}}}$

и с операторами S определяется как

${displaystyle {egin{aligned}S_{s}^{r-1,n-r,0}(A)&:={egin{cases}A&{ ext{if }}r=n=1,�&{ ext{otherwise}},end{cases}}S_{s}^{r-1,n-r,i}(A)&:=sum _{egin{array}{c}(j_{1},k_{1}),dots ,(j_{i},k_{i})in mathbb {N} _{0}^{2}j_{1}+cdots +j_{i}=r-1k_{1}+cdots +k_{i}=n-rend{array}}{ig [}Y_{s}^{(j_{1},k_{1})},{ig [}dots ,{ig [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{ig ]}dots {ig ]}{ig ]}&=sum _{egin{array}{c}(j_{1},k_{1}),dots ,(j_{i},k_{i})in mathbb {N} _{0}^{2}j_{1}+cdots +j_{i}=r-1k_{1}+cdots k_{i}=n-rend{array}}operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}circ cdots circ operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{i},k_{i})}}(A_{s}),qquad iin mathbb {N} .end{aligned}}}$

Приложения

С 1960-х годов расширение Магнуса успешно применяется в качестве пертурбативного инструмента во многих областях физики и химии, начиная с атомный и молекулярная физика к ядерный магнитный резонанс^[3] и квантовая электродинамика. Он также используется с 1998 года как инструмент для построения практических алгоритмов численного интегрирования матричных линейных дифференциальных уравнений. Поскольку они наследуют от расширения Магнуса сохранение качественных черт проблемы, соответствующие схемы являются прототипами геометрические числовые интеграторы.

Смотрите также

• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Производная экспоненциального отображения

Примечания

1. 1. Камм, К., Пальярани, С., Паскуччи, А. Стохастическое разложение Магнуса (2020 г.)
2. 2. Камм К., Паглиарани С. и Паскуччи А. Стохастическое разложение Магнуса (2020), теорема 1.1.
3. 3. Хэберлен У. и Во, Дж. С. Эффекты когерентного усреднения в магнитном резонансе. Phys. Ред. 175, 453–467 (1968).

Рекомендации

• В. Магнус (1954). «Об экспоненциальном решении дифференциальных уравнений для линейного оператора». Comm. Pure Appl. Математика. VII (4): 649–673. Дои:10.1002 / cpa.3160070404.
• С. Бланес; Ф. Касас; Дж. А. Отео; Дж. Рос (1998). «Разложения Магнуса и Фера для матричных дифференциальных уравнений: проблема сходимости». J. Phys. A: Математика. Gen. 31 (1): 259–268. Bibcode:1998JPhA ... 31..259B. Дои:10.1088/0305-4470/31/1/023.
• А. Изерлес; С. П. Норсетт (1999). «О решении линейных дифференциальных уравнений в группах Ли». Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А. 357 (1754): 983–1019. Bibcode:1999RSPTA.357..983I. CiteSeerX  10.1.1.15.4614. Дои:10.1098 / rsta.1999.0362. S2CID  90949835.
• С. Бланес; Ф. Касас; Дж. А. Отео; Дж. Рос (2009). «Расширение Магнуса и некоторые его приложения». Phys. Представитель. 470 (5–6): 151–238. arXiv:0810.5488. Bibcode:2009ФР ... 470..151Б. Дои:10.1016 / j.physrep.2008.11.001. S2CID  115177329.
• К. Камм; С. Пальярани; А. Паскуччи (2020). «Стохастическое разложение Магнуса». arXiv:2001.01098.