Неравенство педо - Pedoes inequality - Wikipedia

В геометрия, Неравенство педо (также Неравенство Нойберга – Педо), названный в честь Даниэль Педо (1910–1998) и Джозеф Жан Батист Нойберг (1840–1926), утверждает, что если а, б, и c длины сторон треугольник с площадью ƒ, и А, B, и C длины сторон треугольника с площадью F, тогда

${\displaystyle A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff,\,}$

с равенством если и только если два треугольника похожий с парами соответствующие стороны (А, а), (Б, б), и (C, c).

Выражение слева не только симметрично относительно любой из шести перестановок множества {(А, а), (B, б), (C, c)} пар, но также - возможно, не так очевидно - остается тем же самым, если а заменяется на А и б с B и c сC. Другими словами, это симметричная функция пары треугольников.

Неравенство Педо является обобщением Неравенство Вайтценбека, что является случаем, когда один из треугольников равносторонний.

Педо обнаружил неравенство в 1941 году и впоследствии опубликовал его в нескольких статьях. Позже он узнал, что неравенство было известно еще в XIX веке Нойбергу, который, однако, не доказал, что равенство подразумевает подобие двух треугольников.

Смотрите также

• Список неравенств треугольника

Рекомендации

• Даниэль Педо: Неравенство, соединяющее любые два треугольника. The Mathematical Gazette, Vol. 25, No. 267 (декабрь 1941 г.), pp. 310-311 (JSTOR )
• Даниэль Педоу: Двухтреугольное неравенство. В Американский математический ежемесячный журнал, том 70, номер 9, страница 1012, ноябрь 1963 года.
• Даниэль Педоу: Неравенство для двух треугольников. Труды Кембриджского философского общества, том 38, часть 4, страница 397, 1943 год.
• Клауди Альсина, Роджер Б. Нельсен: Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств. МАА, 2009 г., ISBN  978-0-88385-342-9, п. 108
• Д.С. Митринович, Йосип Печарич: О неравенствах Нойберга-Педое и Оппенгейма. Журнал математического анализа и приложений 129 (1): 196–210 · январь 1988 г. (онлайн-копия )