Теорема о перпендикулярной оси - Perpendicular axis theorem

В теорема о перпендикулярной оси утверждает, что момент инерции плоская пластинка вокруг оси, перпендикулярной плоскости пластинки, равно сумме моментов инерции пластинки относительно двух осей, расположенных под прямым углом друг к другу, в своей собственной плоскости, пересекающей друг друга в точке, где перпендикулярная ось проходит через Это.

Определить перпендикулярные оси ${displaystyle x}$, ${displaystyle y}$, и ${displaystyle z}$ (которые встречаются в начале ${displaystyle O}$) так что тело лежит в ${displaystyle xy}$ самолет, и ${displaystyle z}$ ось перпендикулярна плоскости тела. Позволять я_Икс, я_у и я_z быть моментами инерции относительно осей x, y, z соответственно, теорема о перпендикулярной оси утверждает, что^[1]

${displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}}$

Это правило можно применить с теорема о параллельной оси и правило растяжения найти полярные моменты инерции для различных форм.

Если плоский объект (или призма, правило растяжения ) имеет вращательную симметрию такую, что ${displaystyle I_{x}}$ и ${displaystyle I_{y}}$ равны^[2], то теорема о перпендикулярных осях дает полезное соотношение:

${displaystyle I_{z}=2I_{x}=2I_{y}}$

Вывод

Работая в декартовых координатах, момент инерции плоского тела относительно ${displaystyle z}$ ось задается:^[3]

${displaystyle I_{z}=int left(x^{2}+y^{2}ight),dm=int x^{2},dm+int y^{2},dm=I_{y}+I_{x}}$

На самолете, ${displaystyle z=0}$, поэтому эти два члена являются моментами инерции относительно ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ осей соответственно, что дает теорему о перпендикулярных осях. Аналогично выводится и обратная теорема.

Обратите внимание, что ${displaystyle int x^{2},dm=I_{y}eq I_{x}}$ потому что в ${displaystyle int r^{2},dm}$, r измеряет расстояние от ось вращения, поэтому для вращения по оси Y расстояние отклонения от оси вращения точки равно ее координате x.

Рекомендации

1. Пол А. Типлер (1976). «Глава 12: Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси». Физика. Worth Publishers Inc. ISBN  0-87901-041-X.
2. Обрегон, Хоакин (2012). Механическая симметрия. Авторский Дом. ISBN  978-1-4772-3372-6.
3. К. Ф. Райли, М. П. Хобсон и С. Дж. Бенс (2006). «Глава 6: Кратные интегралы». Математические методы для физики и инженерии. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-67971-8.

Смотрите также

• Теорема о параллельной оси
• Правило растяжения