Метод Перрона - Perron method

В математическом исследовании гармонические функции, то Метод Перрона, также известный как метод субгармонические функции, это техника, представленная Оскар Перрон для решения Задача Дирихле за Уравнение Лапласа. Метод Перрона работает, находя наибольшую субгармоническую функцию с граничными значениями ниже желаемых значений; «решение Перрона» совпадает с реальным решением проблемы Дирихле, если проблема разрешима.

Задача Дирихле состоит в том, чтобы найти гармоническую функцию в области с граничными условиями, заданными непрерывной функцией ${\displaystyle \varphi (x)}$. Решение Перрона определяется поточечным супремумом по семейству функций ${\displaystyle S_{\varphi }}$,

${\displaystyle u(x)=\sup _{v\in S_{\varphi }}v(x)}$

куда ${\displaystyle S_{\varphi }}$ - множество всех субгармонических функций таких, что ${\displaystyle v(x)\leq \varphi (x)}$ на границе области.

Решение Перрона и (х) всегда гармоничен; однако значения, которые он принимает на границе, могут не совпадать с желаемыми граничными значениями ${\displaystyle \varphi (x)}$. Точка у границы удовлетворяет барьер условие, если существует супергармоническая функция ${\displaystyle w_{y}(x)}$, определенные на всей области, такие что ${\displaystyle w_{y}(y)=0}$ и ${\displaystyle w_{y}(x)>0}$ для всех ${\displaystyle x\neq y}$. Точки, удовлетворяющие условию барьера, называются обычный точки границы для лапласиана. Это как раз те точки, в которых гарантировано получение желаемых граничных значений: при ${\displaystyle x\rightarrow y,u(x)\rightarrow \varphi (y)}$.

Характеристика регулярных точек на поверхностях является частью теория потенциала. Регулярные точки на границе области ${\displaystyle \Omega }$ те точки, которые удовлетворяют критерию Винера: для любого ${\displaystyle \lambda \in (0,1)}$, позволять ${\displaystyle C_{j}}$ быть емкость из набора ${\displaystyle B_{\lambda ^{j}}(x_{0})\cap \Omega ^{c}}$; тогда ${\displaystyle x_{0}}$ является регулярной точкой тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }C_{j}/\lambda ^{j(n-2)}}$

расходится.

Критерий Винера был впервые разработан Норберт Винер; Вернер Пюшель расширил его до эллиптический уравнения дивергентной формы с гладкими коэффициентами и, следовательно, уравнения равномерно эллиптической дивергентной формы с ограниченными измеримыми коэффициентами Уолтера Литтмана, Гвидо Стампаккья, и Ганс Вайнбергер.

Рекомендации

• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-41160-4
• Littman, W .; Stampacchia, G.; Вайнбергер, Х. (1963), «Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами», Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 3, Пиза, Италия: Scuola Normale Superiore di Pisa, 17 (1–2), стр. 43–77 МИСТЕР161019

дальнейшее чтение

• Конвей, Джон Б. (1996-06-13), Функции одной комплексной переменной II, Тексты для выпускников по математике, 159, Springer-Verlag, стр. 376–383, ISBN  978-0-387-94460-9
• Келлог, О. (1953), Основы теории потенциала, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60144-1
• Ландкоф, Н. С. (1972), Основы современной теории потенциала, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, МИСТЕР  0350027
• Перрон, О. (Декабрь 1923 г.), "Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu = 0", Mathematische Zeitschrift, 18 (1): 42–54, Дои:10.1007 / BF01192395, ISSN  0025-5874
• Пушель, Вернер (1932), "Die erste Randwertaufgabe der allgemeinen selbstadjungierten elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung im Raum für trustbige Gebiete", Mathematische Zeitschrift, 34 (1): 535–553, Дои:10.1007 / BF01180608, ISSN  0025-5874, МИСТЕР  1545272
• Соломенцев, Э. (2001) [1994], «Метод Перрона», Энциклопедия математики, EMS Press