Теория Пикара – Лефшеца - Picard–Lefschetz theory

В математике Теория Пикара – Лефшеца изучает топологию комплексное многообразие глядя на критические точки из голоморфная функция на коллекторе. Он был представлен Эмиль Пикар для сложных поверхностей в его книге Пикард и Симарт (1897), и расширен до более высоких измерений Соломон Лефшец  (1924 ). Это сложный аналог Теория Морса который изучает топологию реального многообразие глядя на критические точки реальной функции. Пьер Делинь и Николас Кац  (1973 ) распространил теорию Пикара – Лефшеца на многообразия над более общими полями, и Делинь использовал это обобщение в своем доказательстве Гипотезы Вейля.

Формула Пикара – Лефшеца

В Формула Пикара – Лефшеца описывает монодромия в критический момент.

Предположим, что ж является голоморфным отображением из (к + 1)-мерное проективное комплексное многообразие к проективной прямой п¹. Предположим также, что все критические точки невырождены, лежат в разных слоях и имеют образы Икс₁,...,Икс_п в п¹. Выберите любую другую точку Икс в п¹. В фундаментальная группа π₁(п¹ – {Икс₁, ..., Икс_п}, Икс) порождается петлями ш_я обойти точки Икс_я, и в каждую точку Икс_я Существует исчезающий цикл в гомологии ЧАС_k(Y_Икс) волокна наИкс. Обратите внимание, что это средняя гомология, поскольку слой имеет комплексную размерность k, следовательно, реальное измерение 2kДействие монодромии π₁(п¹ – {Икс₁, ..., Икс_п}, Икс) на ЧАС_k(Y_Икс) описывается формулой Пикара – Лефшеца. (Действие монодромии на другие группы гомологий тривиально.) Действие монодромии генератора ш_я фундаментальной группы на ${\displaystyle \gamma }$ ∈ ЧАС_k(Y_Икс) дан кем-то

${\displaystyle w_{i}(\gamma )=\gamma +(-1)^{(k+1)(k+2)/2}\langle \gamma ,\delta _{i}\rangle \delta _{i}}$

где δ_я это исчезающий цикл Икс_я. Эта формула неявно появляется для k = 2 (без явных коэффициентов исчезающих циклов δ_я) в Пикард и Симарт (1897, стр.95). Лефшец (1924 г., главы II, V) дали явную формулу во всех измерениях.

Пример

Рассмотрим проективное семейство гиперэллиптических кривых рода ${\displaystyle g}$ определяется

${\displaystyle y^{2}=(x-t)(x-a_{1})\cdots (x-a_{k})}$

куда ${\displaystyle t\in \mathbb {A} ^{1}}$ параметр и ${\displaystyle k=2g+1}$. Тогда это семейство имеет двухточечные вырождения всякий раз, когда ${\displaystyle t=a_{i}}$. Поскольку кривая представляет собой связную сумму ${\displaystyle g}$ торов, форма пересечения на ${\displaystyle H_{1}}$ кривой общего положения - это матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}^{\oplus g}={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots &0&0\\1&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&1\\0&0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

мы можем легко вычислить формулу Пикара-Лефшеца вокруг вырождения на ${\displaystyle \mathbb {A} _{t}^{1}}$. Предположим, что ${\displaystyle \gamma ,\delta }$ являются ${\displaystyle 1}$-циклы из ${\displaystyle j}$-й тор. Тогда формула Пикара-Лефшеца имеет вид

${\displaystyle w_{j}(\gamma )=\gamma -\delta }$

если ${\displaystyle j}$-й тор содержит исчезающий цикл. В противном случае это карта идентичности.

Рекомендации

• Делинь, Пьер; Кац, Николай (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II, Конспект лекций по математике, 340, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0060505, ISBN  978-3-540-06433-6, МИСТЕР  0354657
• Ламотке, Клаус (1981), "Топология комплексных проективных многообразий по С. Лефшецу", Топология. Международный журнал математики, 20 (1): 15–51, Дои:10.1016/0040-9383(81)90013-6, ISSN  0040-9383, МИСТЕР  0592569
• Лефшец, С. (1924), L'analysis situs et la géométrie algébrique, Готье-Виллар, МИСТЕР  0033557
• Лефшец, Соломон (1975), Приложения алгебраической топологии. Графы и сети, теория Пикара-Лефшеца и интегралы Фейнмана, Прикладные математические науки, 16, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90137-4, МИСТЕР  0494126
• Пикар, Э .; Симарт, Г. (1897), Теория функций независимых переменных. Том I (на французском языке), Париж: Gauthier-Villars et Fils.
• Васильев, В.А. (2002), Прикладная теория Пикара – Лефшеца, Математические обзоры и монографии, 97, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, Дои:10.1090 / Surv / 097, ISBN  978-0-8218-2948-6, МИСТЕР  1930577