Планшерель мера - Plancherel measure

В математика, Планшерель мера это мера определен на множестве неприводимые унитарные представления из локально компактная группа ${\displaystyle G}$, который описывает, как регулярное представление разбивается на неприводимые унитарные представления. В некоторых случаях термин Планшерель мера применяется конкретно в контексте группы ${\displaystyle G}$ конечная симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ - Смотри ниже. Он назван в честь швейцарского математика. Мишель Планшерель за его работу в теория представлений.

Определение для конечных групп

Позволять ${\displaystyle G}$ быть конечная группа обозначим множество его неприводимые представления к ${\displaystyle G^{\wedge }}$. Соответствующие Планшерель мера по набору ${\displaystyle G^{\wedge }}$ определяется

${\displaystyle \mu (\pi )={\frac {(\mathrm {dim} \,\pi )^{2}}{|G|}},}$

куда ${\displaystyle \pi \in G^{\wedge }}$, и ${\displaystyle \mathrm {dim} \pi }$ обозначает размерность неприводимого представления ${\displaystyle \pi }$. ^[1]

Определение симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$

Важным частным случаем является случай конечного симметричная группа ${\displaystyle S_{n}}$, куда ${\displaystyle n}$ положительное целое число. Для этой группы набор ${\displaystyle S_{n}^{\wedge }}$ неприводимых представлений находится в естественной биекции с множеством целые разделы из ${\displaystyle n}$. Для неприводимого представления, связанного с целочисленным разбиением ${\displaystyle \lambda }$, его размерность, как известно, равна ${\displaystyle f^{\lambda }}$, количество стандартные картины Юнга формы ${\displaystyle \lambda }$, так что в этом случае Планшерель мера часто рассматривается как мера на множестве целых разделов заданного порядкап, данный

${\displaystyle \mu (\lambda )={\frac {(f^{\lambda })^{2}}{n!}}.}$ ^[2]

Тот факт, что эти вероятности в сумме равны 1, следует из комбинаторного тождества

${\displaystyle \sum _{\lambda \vdash n}(f^{\lambda })^{2}=n!,}$

что соответствует биективной природе Переписка Робинсона – Шенстеда.

Заявление

Планшерель мера естественно возникает в комбинаторных и вероятностных задачах, особенно при изучении самая длинная возрастающая подпоследовательность случайного перестановка ${\displaystyle \sigma }$. В связи с его важностью в этой области во многих текущих исследовательских работах термин Планшерель мера почти исключительно относится к случаю симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$.

Подключение к самой длинной возрастающей подпоследовательности

Позволять ${\displaystyle L(\sigma )}$ обозначают длину самой длинной возрастающей подпоследовательности случайного перестановка ${\displaystyle \sigma }$ в ${\displaystyle S_{n}}$ выбирается по равномерному распределению. Позволять ${\displaystyle \lambda }$ обозначим форму соответствующего Молодые картины относится к ${\displaystyle \sigma }$ посредством Переписка Робинсона – Шенстеда. Тогда имеет место следующее тождество:

${\displaystyle L(\sigma )=\lambda _{1},}$

куда ${\displaystyle \lambda _{1}}$ обозначает длину первой строки ${\displaystyle \lambda }$. Кроме того, из того факта, что соответствие Робинсона – Шенстеда биективно, следует, что распределение ${\displaystyle \lambda }$ это в точности мера Планшереля на ${\displaystyle S_{n}}$. Итак, чтобы понять поведение ${\displaystyle L(\sigma )}$, естественно смотреть на ${\displaystyle \lambda _{1}}$ с ${\displaystyle \lambda }$ выбирается по мере Планшереля в ${\displaystyle S_{n}}$, поскольку эти две случайные величины имеют одинаковое распределение вероятностей. ^[3]

Пуассонизированная мера Планшереля

Планшерель мера определяется на ${\displaystyle S_{n}}$ для каждого целого числа ${\displaystyle n}$. В различных исследованиях асимптотического поведения ${\displaystyle L(\sigma )}$ в качестве ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, это оказалось полезным ^[4] расширить меру до меры, называемой Пуассонизированная мера Планшереля, на съемочной площадке ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$ всех целочисленных разделов. Для любого ${\displaystyle \theta >0}$, то Пуассонизированная мера Планшереля с параметром ${\displaystyle \theta }$ на съемочной площадке ${\displaystyle {\mathcal {P}}^{*}}$ определяется

${\displaystyle \mu _{\theta }(\lambda )=e^{-\theta }{\frac {\theta ^{|\lambda |}(f^{\lambda })^{2}}{(|\lambda |!)^{2}}},}$

для всех ${\displaystyle \lambda \in {\mathcal {P}}^{*}}$. ^[2]

Планшерель процесс роста

В Планшерель процесс роста случайная последовательность Диаграммы Юнга ${\displaystyle \lambda ^{(1)}=(1),~\lambda ^{(2)},~\lambda ^{(3)},~\ldots ,}$ так что каждый ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ - случайная диаграмма Юнга порядка ${\displaystyle n}$ распределение вероятностей которого является пмера Планшереля, и каждая последующая ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ получен от своего предшественника ${\displaystyle \lambda ^{(n-1)}}$ добавлением одной коробки, согласно вероятность перехода

${\displaystyle p(\nu ,\lambda )=\mathbb {P} (\lambda ^{(n)}=\lambda ~|~\lambda ^{(n-1)}=\nu )={\frac {f^{\lambda }}{nf^{\nu }}},}$

для любой данной диаграммы Юнга ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \lambda }$ размеров п - 1 ип, соответственно. ^[5]

Итак Планшерель процесс роста можно рассматривать как естественное соединение различных мер Планшереля всех симметрических групп или, альтернативно, как случайная прогулка на Решетка Юнга. Нетрудно показать, что распределение вероятностей из ${\displaystyle \lambda ^{(n)}}$ в этой прогулке совпадает с Планшерель мера на ${\displaystyle S_{n}}$. ^[6]

Компактные группы

Мера Планшереля для компактных групп аналогична мере для конечных групп, за исключением того, что мера не обязательно должна быть конечной. Унитарное двойственное - это дискретный набор конечномерных представлений, а мера Планшереля неприводимого конечномерного представления пропорциональна его размерности.

Абелевы группы

Унитарная двойственная локально компактная абелева группа является другой локально компактной абелевой группой, а мера Планшереля пропорциональна Мера Хаара дуальной группы.

Полупростые группы Ли

Мера Планшереля для полупростых групп Ли была найдена Хариш-Чандра. Подставка - это набор закаленные представления, и, в частности, не все унитарные представления должны присутствовать в опоре.

Рекомендации

1. Бородин, А .; Окуньков, А. (2000). «Асимптотика мер Планшереля для симметрических групп». J. Amer. Математика. Soc. 13:491–515.
2. Йоханссон, К. (2001). «Дискретные ортогональные полиномиальные ансамбли и мера Планшереля». Анналы математики. 153: 259–296. arXiv:математика / 9906120. Дои:10.2307/2661375.
3. Logan, B.F .; Шепп, Л. А. (1977). «Вариационная задача для случайных таблиц Юнга». Adv. Математика. 26:206–222.
4. Baik, J .; Deift, P .; Йоханссон, К. (1999). «О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок». J. Amer. Математика. Soc. 12:1119–1178.
5. Вершик, А. М .; Керов, С. В. (1985). «Асимптотика максимальных и типичных размерностей неприводимых представлений симметрической группы». Функц. Анальный. Приложение. 19:21–31.
6. Керов, С. (1996). «Дифференциальная модель роста диаграмм Юнга». Труды Санкт-Петербургского математического общества.