Плетистическое замещение - Plethystic substitution

Плетистическое замещение сокращенное обозначение для общего вида замены в алгебра симметрических функций и что из симметричные многочлены. По сути, это базовая подстановка переменных, но с возможностью изменения количества используемых переменных.

Определение

Формальное определение плетистической подстановки основано на том факте, что кольцо симметричных функций ${\displaystyle \Lambda _{R}(x_{1},x_{2},\ldots )}$ генерируется как р-алгебра симметричными функциями степенной суммы

${\displaystyle p_{k}=x_{1}^{k}+x_{2}^{k}+x_{3}^{k}+\cdots .}$

Для любой симметричной функции ${\displaystyle f}$ и любая формальная сумма мономов ${\displaystyle A=a_{1}+a_{2}+\cdots }$, то плетистическое замещение f [A] - формальный ряд, полученный заменами

${\displaystyle p_{k}\longrightarrow a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+a_{3}^{k}+\cdots }$

в разложении ${\displaystyle f}$ как полином от п_kс.

Примеры

Если ${\displaystyle X}$ обозначает формальную сумму ${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots }$, тогда ${\displaystyle f[X]=f(x_{1},x_{2},\ldots )}$.

Можно написать ${\displaystyle 1/(1-t)}$ для обозначения формальной суммы ${\displaystyle 1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots }$, и поэтому плетистическое замещение ${\displaystyle f[1/(1-t)]}$ просто результат установки ${\displaystyle x_{i}=t^{i-1}}$ для каждого i. То есть,

${\displaystyle f\left[{\frac {1}{1-t}}\right]=f(1,t,t^{2},t^{3},\ldots )}$.

Плетистическая замена также может использоваться для изменения количества переменных: если ${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots ,x_{n}}$, тогда ${\displaystyle f[X]=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ - соответствующая симметричная функция в кольце ${\displaystyle \Lambda _{R}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ симметричных функций от п переменные.

Ниже перечислены несколько других распространенных замен. Во всех следующих примерах ${\displaystyle X=x_{1}+x_{2}+\cdots }$ и ${\displaystyle Y=y_{1}+y_{2}+\cdots }$ формальные суммы.

• Если ${\displaystyle f}$ является однородной симметричной функцией степени ${\displaystyle d}$, тогда

${\displaystyle f[tX]=t^{d}f(x_{1},x_{2},\ldots )}$

• Если ${\displaystyle f}$ является однородной симметричной функцией степени ${\displaystyle d}$, тогда

${\displaystyle f[-X]=(-1)^{d}\omega f(x_{1},x_{2},\ldots )}$, куда ${\displaystyle \omega }$ - известная инволюция на симметрических функциях, посылающая Функция Шура ${\displaystyle s_{\lambda }}$ сопряженной функции Шура ${\displaystyle s_{\lambda ^{\ast }}}$.

• Замена ${\displaystyle S:f\mapsto f[-X]}$ это антипод для Алгебра Хопфа структура на Кольцо симметричных функций.
• ${\displaystyle p_{n}[X+Y]=p_{n}[X]+p_{n}[Y]}$
• Карта ${\displaystyle \Delta :f\mapsto f[X+Y]}$ является копроизведением структуры алгебры Хопфа на кольце симметрических функций.
• ${\displaystyle h_{n}\left[X(1-t)\right]}$ - знакопеременный ряд Фробениуса для внешней алгебры определяющего представления симметрической группы, где ${\displaystyle h_{n}}$ обозначает полную однородную симметричную функцию степени ${\displaystyle n}$.
• ${\displaystyle h_{n}\left[X/(1-t)\right]}$ - ряд Фробениуса для симметрической алгебры определяющего представления симметрической группы.

внешняя ссылка

• Комбинаторика, симметричные функции и схемы Гильберта (Хайман, 2002)

Рекомендации

• М. Хайман, Комбинаторика, симметричные функции и схемы Гильберта, Текущие достижения в математике 2002 г., нет. 1 (2002), стр. 39–111.