Кольцо симметричных функций - Ring of symmetric functions

Эта статья о кольце симметрических функций в алгебраической комбинаторике. Общие свойства симметричных функций см. симметричная функция.

В алгебра и в частности в алгебраическая комбинаторика, то кольцо симметричных функций - конкретный предел колец симметричные многочлены в п неопределенный, поскольку п уходит в бесконечность. Эта кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между симметричными многочленами могут быть выражены способом, независимым от числа п неопределенностей (но его элементы не являются ни многочленами, ни функциями). Помимо прочего, это кольцо играет важную роль в теория представлений симметрической группы.

Кольцу симметричных функций можно придать копроизведение и билинейную форму, превратив его в положительную самосопряженную градуированную форму. Алгебра Хопфа который одновременно коммутативен и кокоммутативен.

Симметричные многочлены

Основная статья: Симметричный полином

Изучение симметричных функций основано на изучении симметричных многочленов. В кольцо многочленов в некотором конечном наборе неопределенных многочлен называется симметричный если он остается неизменным, когда неопределенные каким-либо образом переставляются. Более формально есть действие от кольцевые автоморфизмы из симметричная группа S_п на кольце многочленов в п неопределенные, где перестановка действует на многочлен, одновременно заменяя каждую из неопределенностей на другую в соответствии с используемой перестановкой. В инварианты для этого действия образуют подкольцо симметрических многочленов. Если неопределенные Икс₁,...,Икс_п, то примерами таких симметричных многочленов являются

${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,}$

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,}$

и

${\displaystyle X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,}$

Несколько более сложный пример:Икс₁³Икс₂Икс₃ +Икс₁Икс₂³Икс₃ +Икс₁Икс₂Икс₃³ +Икс₁³Икс₂Икс₄ +Икс₁Икс₂³Икс₄ +Икс₁Икс₂Икс₄³ + ... где суммирование включает все произведения третьей степени некоторой переменной и двух других переменных. Есть много конкретных видов симметричных многочленов, например элементарные симметричные полиномы, степенная сумма симметричных многочленов, мономиальные симметрические многочлены, полные однородные симметрические многочлены, и Полиномы Шура.

Кольцо симметричных функций

Большинство соотношений между симметричными многочленами не зависят от числа п неопределенностей, кроме того, что для некоторых многочленов в отношении может потребоваться п быть достаточно большим, чтобы его можно было определить. Например, Личность Ньютона для полинома третьей степени суммы п₃ приводит к

${\displaystyle p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),}$

где ${\displaystyle e_{i}}$ обозначают элементарные симметричные полиномы; эта формула действительна для всех натуральных чисел п, и единственная заметная зависимость от него заключается в том, что е_k(Икс₁,...,Икс_п) = 0 всякий раз, когда п < k. Хотелось бы написать это как личность

${\displaystyle p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}}$

это не зависит от п вообще, и это можно сделать в кольце симметричных функций. В этом кольце есть элементы е_k для всех целых чисел k ≥ 1, и любой элемент кольца может быть задан полиномиальным выражением от элементов е_k.

Определения

А кольцо симметричных функций можно определить над любым коммутативным кольцом р, и обозначим Λ_р; основной случай для р = Z. Кольцо Λ_р на самом деле оцененный р-алгебра. Для этого есть две основные конструкции; первый, приведенный ниже, можно найти в (Stanley, 1999), а второй, по существу, тот, который дан в (Macdonald, 1979).

Как кольцо формального степенного ряда

Самая легкая (хотя и несколько тяжелая) конструкция начинается с кольца из формальный степенной ряд ${\displaystyle R[[X_{1},X_{2},...]]}$ над р в бесконечно (счетном) множестве неопределенностей; элементы этого кольца степенных рядов представляют собой формальные бесконечные суммы слагаемых, каждое из которых состоит из коэффициента из р умноженный на моном, где каждый моном является произведением конечного числа конечных степеней неопределенностей. Один определяет Λ_р как его подкольцо, состоящее из этих степенных рядов S это удовлетворяет

1. S инвариантен относительно любой перестановки неопределенных, и
2. степени одночленов, входящих в S ограничены.

Обратите внимание, что из-за второго условия степенные ряды используются здесь только для того, чтобы разрешить бесконечно много членов фиксированной степени, а не для суммирования членов всех возможных степеней. Это необходимо, потому что элемент, содержащий, например, термин Икс₁ также должен содержать термин Икс_я для каждого я > 1, чтобы быть симметричным. В отличие от всего кольца степенных рядов подкольцо Λ_р градуируется по полной степени мономов: в силу условия 2 каждый элемент Λ_р конечная сумма однородный элементы Λ_р (которые сами по себе являются бесконечными суммами членов равной степени). Для каждого k ≥ 0 элемент е_k ∈ Λ_р определяется как формальная сумма всех произведений k отчетливые индетерминанты, которые явно однородны по степени k.

Как алгебраический предел

Другая конструкция Λ_р описание занимает немного больше времени, но лучше показывает связь с кольцами р[Икс₁,...,Икс_п]^S_п симметричных многочленов от п неопределенный. Для каждого п есть сюръективный кольцевой гомоморфизм ρ_п из аналогичного кольца р[Икс₁,...,Икс_п+1]^S_п+1 с еще одним неопределенным на р[Икс₁,...,Икс_п]^S_п, определяемый установкой последнего неопределенного Икс_п+1 до 0. Хотя ρ_п имеет нетривиальное ядро, ненулевые элементы этого ядра имеют степень не менее ${\displaystyle n+1}$ (они кратны Икс₁Икс₂...Икс_п+1). Это означает, что ограничение ρ_п до элементов степени не более п является биективным линейным отображением, а ρ_п(е_k(Икс₁,...,Икс_п+1)) = е_k(Икс₁,...,Икс_п) для всех k ≤ п. Обратное к этому ограничению однозначно продолжается до гомоморфизма колец φ_п от р[Икс₁,...,Икс_п]^S_п к р[Икс₁,...,Икс_п+1]^S_п+1, как следует, например, из основная теорема симметрических многочленов. Поскольку образы φ_п(е_k(Икс₁,...,Икс_п)) = е_k(Икс₁,...,Икс_п+1) для k = 1,...,п все еще алгебраически независимый надр, гомоморфизм φ_п инъективно и может рассматриваться как (несколько необычное) включение колец; применяя φ_п к многочлену означает сложение всех одночленов, содержащих новое неопределенное, полученное симметрией из уже имеющихся одночленов. Кольцо Λ_р тогда "союз" (прямой предел ) всех этих колец с учетом этих включений. Поскольку все φ_п согласованы с градуировкой по полной степени участвующих колец, Λ_р получает структуру ступенчатого кольца.

Эта конструкция немного отличается от конструкции (Macdonald, 1979). Эта конструкция использует только сюръективные морфизмы ρ_п без упоминания инъективных морфизмов φ_п: строит однородные компоненты Λ_р отдельно и снабжает их прямую сумму кольцевой структурой, используя ρ_п. Также замечено, что результат можно описать как обратный предел в категории оцененный кольца. Однако это описание несколько затемняет важное свойство, типичное для непосредственный предел инъективных морфизмов, а именно, что каждый отдельный элемент (симметрическая функция) уже точно представлен в некотором объекте, используемом в конструкции предела, здесь кольцо р[Икс₁,...,Икс_d]^S_d. Достаточно принять за d степень симметричной функции, так как часть в степени d этого кольца изоморфно отображается в кольца с большим числом неопределенных посредством φ_п для всех п ≥ d. Это означает, что для изучения отношений между отдельными элементами нет принципиальной разницы между симметричными многочленами и симметричными функциями.

Определение отдельных симметричных функций

Название «симметричная функция» для элементов из Λ_р это неправильное употребление: ни в одной конструкции элементы не являются функциями, и фактически, в отличие от симметричных многочленов, никакая функция независимых переменных не может быть связана с такими элементами (например, е₁ будет суммой всех бесконечно многих переменных, которая не определена, если на переменные не наложены ограничения). Однако название традиционное и хорошо известное; его можно найти как в (Macdonald, 1979), где говорится (сноска на стр. 12)

Элементы Λ (в отличие от Λ_п) больше не являются многочленами: это формальные бесконечные суммы одночленов. Поэтому мы вернулись к старой терминологии симметричных функций.

(здесь Λ_п обозначает кольцо симметрических многочленов от п undeterminates), а также в (Stanley, 1999).

Чтобы определить симметричную функцию, нужно либо указать непосредственно степенной ряд, как в первой конструкции, либо указать симметричный многочлен от п неопределен для каждого натурального числа п способом, совместимым со второй конструкцией. Выражение в неопределенном количестве неопределенных может делать и то, и другое, например

${\displaystyle e_{2}=\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\,}$

может рассматриваться как определение элементарной симметричной функции, если число неопределенных бесконечно, или как определение элементарного симметричного многочлена от любого конечного числа неопределенных. Симметричные многочлены для одной и той же симметрической функции должны быть согласованы с морфизмами ρ_п (уменьшение числа неопределенностей достигается установкой некоторых из них равными нулю, так что коэффициенты любого одночлена в оставшихся неопределенностях не изменяются), и их степень должна оставаться ограниченной. (Примером семейства симметричных многочленов, не удовлетворяющего обоим условиям, является ${\displaystyle \Pi _{i=1}^{n}X_{i}}$; семья ${\displaystyle \Pi _{i=1}^{n}(X_{i}+1)}$ не выполняется только второе условие.) Любой симметричный многочлен от п неопределенные можно использовать для построения совместимого семейства симметрических многочленов, используя морфизмы ρ_я для я < п чтобы уменьшить количество неопределенных, а φ_я для я ≥ п для увеличения числа неопределенных (что составляет добавление всех одночленов к новым неопределенным, полученным симметрией из уже имеющихся одночленов).

Ниже приведены основные примеры симметричных функций.

• В мономиальные симметричные функции м_α. Предположим, что α = (α₁, α₂, ...) представляет собой последовательность неотрицательных целых чисел, только конечное число которых ненулевое. Тогда мы можем рассмотреть одночлен определяется как α: Икс^α=Икс₁^α₁Икс₂^α₂Икс₃^α₃.... Потом м_α симметричная функция, определяемая Икс^α, т.е. сумма всех одночленов, полученных из Икс^α по симметрии. Для формального определения, определим β ~ α, чтобы означать, что последовательность β является перестановкой последовательности α, и положим

${\displaystyle m_{\alpha }=\sum \nolimits _{\beta \sim \alpha }X^{\beta }.}$

Эта симметричная функция соответствует мономиальный симметричный многочлен м_α(Икс₁,...,Икс_п) для любого п достаточно большой, чтобы иметь одночлен Икс^α. Различные мономиальные симметричные функции параметризуются целые разделы (каждый м_α имеет уникальный представительный моном Икс^λ с частями λ_я в слабо убывающем порядке). Поскольку любая симметрическая функция, содержащая любой из одночленов некоторого м_α должен содержать все из них с одинаковым коэффициентом, каждая симметричная функция может быть записана как р-линейная комбинация мономиальных симметрических функций, и различные мономиальные симметрические функции, таким образом, образуют базис Λ_р так как р-модуль.

• В элементарные симметричные функции е_k, для любого натурального числа k; надо е_k = м_α где ${\displaystyle X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{k}X_{i}}$. В качестве степенного ряда это сумма всех различных произведений k отчетливые индетерминанты. Эта симметричная функция соответствует элементарный симметричный многочлен е_k(Икс₁,...,Икс_п) для любого п ≥ k.
• В симметричные функции степенной суммы п_k, для любого положительного целого числа k; надо п_k = м_(k), мономиальная симметрическая функция для монома Икс₁^k. Эта симметричная функция соответствует симметричный полином степенной суммы п_k(Икс₁,...,Икс_п) = Икс₁^k+...+Икс_п^k для любого п ≥ 1.
• В полные однородные симметричные функции час_k, для любого натурального числа k; час_k является суммой всех мономиальных симметрических функций м_α где α - раздел изk. В качестве степенного ряда это сумма все мономы степени k, что и мотивирует его название. Эта симметричная функция соответствует полный однородный симметричный многочлен час_k(Икс₁,...,Икс_п) для любого п ≥ k.
• В Функции Шура s_λ для любого разбиения λ, что соответствует Полином Шура s_λ(Икс₁,...,Икс_п) для любого п достаточно большой, чтобы иметь одночлен Икс^λ.

Симметричная функция степенной суммы отсутствует п₀: хотя можно (и в некоторых случаях естественно) определить ${\displaystyle p_{0}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\Sigma _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n}$ как симметричный многочлен в п переменных, эти значения несовместимы с морфизмами ρ_п. "Дискриминант" ${\displaystyle \textstyle (\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j}))^{2}}$ еще один пример выражения, задающего симметричный многочлен для всех п, но не определяя симметричную функцию. Выражения, определяющие Полиномы Шура как частное знакопеременных многочленов в некоторой степени аналогичны таковому для дискриминанта, но многочлены s_λ(Икс₁,...,Икс_п) оказываются совместимыми для различных п, и поэтому определяют симметричную функцию.

Принцип, связывающий симметричные многочлены и симметричные функции

Для любой симметричной функции п, соответствующие симметричные полиномы от п неопределен для любого натурального числа п может быть обозначен п(Икс₁,...,Икс_п). Из второго определения кольца симметричных функций следует следующий фундаментальный принцип:

Если п и Q являются симметричными функциями степени d, то имеем тождество ${\displaystyle P=Q}$ симметрических функций тогда и только тогда, когда одна из них имеет тождество п(Икс₁,...,Икс_d) = Q(Икс₁,...,Икс_d) симметричных многочленов от d неопределенный. В этом случае фактически п(Икс₁,...,Икс_п) = Q(Икс₁,...,Икс_п) для Любые количество п неопределенных.

Это связано с тем, что всегда можно уменьшить количество переменных, заменив некоторые переменные нулем, и можно увеличить количество переменных, применяя гомоморфизмы φ_п; определение этих гомоморфизмов гарантирует, что φ_п(п(Икс₁,...,Икс_п)) = п(Икс₁,...,Икс_п+1) (и аналогично для Q) всякий раз, когда п ≥ d. Увидеть доказательство личности Ньютона для эффективного применения этого принципа.

Свойства кольца симметричных функций

Идентичности

Кольцо симметричных функций - удобный инструмент для записи тождеств между симметричными многочленами, не зависящими от числа неопределенных: в Λ_р такого числа нет, но по указанному выше принципу любое тождество в Λ_р автоматически дает тождества кольца симметрических многочленов над р в любом количестве индетерминатов. Некоторые фундаментальные идентичности

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{k-i}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k>0,}$

который показывает симметрию между элементарными и полными однородными симметричными функциями; эти отношения объясняются в полный однородный симметричный многочлен.

${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0,}$

то Тождества Ньютона, которые также имеют вариант для полных однородных симметричных функций:

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0.}$

Структурные свойства Λ_р

Важные свойства Λ_р включая следующее.

1. Набор мономиальных симметричных функций, параметризованных разбиениями, составляет базис Λ_р как оценено р-модуль, параметризованные разбиениями d однородность степени d; то же самое верно и для набора функций Шура (также параметризованных разбиениями).
2. Λ_р является изоморфный как оцененный р-алгебра к кольцу многочленов р[Y₁,Y₂, ...] от бесконечного числа переменных, где Y_я дается степенья для всех я > 0, причем один изоморфизм посылает Y_я к е_я ∈ Λ_р для каждогоя.
3. Существует инволютивный автоморфизм ω из Λ_р который меняет местами элементарные симметричные функции е_я и полная однородная симметричная функция час_я для всех я. Он также отправляет каждую симметричную функцию суммы степеней п_я до (−1)^я−1 п_я, и он переставляет функции Шура между собой, меняя местами s_λ и s_λ^т где λ^т транспонированное разбиение λ.

Свойство 2 - это суть основная теорема симметрических многочленов. Это сразу подразумевает некоторые другие свойства:

• В подкольцо из Λ_р порождается элементами степени не более п изоморфно кольцу симметрических многочленов над р в п переменные;
• В Ряд Гильберта – Пуанкаре из Λ_р является ${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-t^{i}}}}$, то производящая функция из целые разделы (это также следует из свойства 1);
• Для каждого п > 0, р-модуль, образованный однородной частью Λ_р степени п, по модулю его пересечения с подкольцом, порожденным его элементами степени строго меньшей, чем п, не имеет ранга 1, и (изображение) е_п является генератором этого р-модуль;
• Для каждого семейства симметричных функций (ж_я)_я>0 в котором ж_я однороден по степения и дает генератор бесплатных р-модуль предыдущего пункта (для всех я) существует альтернативный изоморфизм градуированных р-алгебры из р[Y₁,Y₂, ...], как указано выше, на Λ_р что посылает Y_я к ж_я; другими словами, семья (ж_я)_я>0 образует набор свободных полиномиальных образующих Λ_р.

Этот последний пункт особенно относится к семье (час_я)_я>0 полных однородных симметричных функций. Если р содержит поле${\displaystyle \mathbb {Q} }$ из рациональное число, это относится и к семье (п_я)_я>0 степенных сумм симметричных функций. Это объясняет, почему первые п элементы каждого из этих семейств определяют наборы симметрических многочленов от п переменные, которые являются свободными полиномиальными образующими этого кольца симметрических многочленов.

Тот факт, что полные однородные симметрические функции образуют набор свободных полиномиальных образующих Λ_р уже показывает существование автоморфизма ω, переводящего элементарные симметрические функции в полные однородные функции, как указано в свойстве 3. Тот факт, что ω является инволюцией Λ_р следует из симметрии между элементарными и полными однородными симметричными функциями, выражаемой первым набором соотношений, приведенных выше.

Кольцо симметрических функций Λ_Z это Кольцо опыта целых чисел Z. Это также лямбда-кольцо естественным образом; по сути это универсальное лямбда-кольцо в одном генераторе.

Производящие функции

Первое определение Λ_р как подкольцо ${\displaystyle R[[X_{1},X_{2},...]]}$ позволяет производящие функции нескольких последовательностей симметричных функций, которые должны быть элегантно выражены. В отличие от упомянутых ранее соотношений, которые являются внутренними для Λ_р, эти выражения включают операции, выполняемые в р[[Икс₁,Икс₂,...;т]], но вне его подкольца Λ_р[[т]], поэтому они имеют смысл только в том случае, если симметричные функции рассматриваются как формальные степенные ряды от неопределенных Икс_я. Напишем "(Икс) "после симметричных функций, чтобы подчеркнуть эту интерпретацию.

Производящая функция для элементарных симметричных функций есть

${\displaystyle E(t)=\sum _{k\geq 0}e_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }(1+X_{i}t).}$

Аналогично для полных однородных симметричных функций

${\displaystyle H(t)=\sum _{k\geq 0}h_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }\left(\sum _{k\geq 0}(X_{i}t)^{k}\right)=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-X_{i}t}}.}$

Очевидный факт, что ${\displaystyle E(-t)H(t)=1=E(t)H(-t)}$ объясняет симметрию между элементарными и полными однородными симметричными функциями. Производящая функция для симметричных функций степенной суммы может быть выражена как

${\displaystyle P(t)=\sum _{k>0}p_{k}(X)t^{k}=\sum _{k>0}\sum _{i=1}^{\infty }(X_{i}t)^{k}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {X_{i}t}{1-X_{i}t}}={\frac {tE'(-t)}{E(-t)}}={\frac {tH'(t)}{H(t)}}}$

((Macdonald, 1979) определяет п(т) как Σ_k>0 п_k(Икс)т^k−1, поэтому в его выражениях отсутствует множитель т относительно приведенных здесь). Два последних выражения, включающих формальные производные производящих функций E(т) и ЧАС(т), влекут тождества Ньютона и их варианты для полных однородных симметрических функций. Эти выражения иногда записывают как

${\displaystyle P(t)=-t{\frac {d}{dt}}\log(E(-t))=t{\frac {d}{dt}}\log(H(t)),}$

что равносильно тому же, но требует, чтобы р содержат рациональные числа, так что логарифм степенного ряда с постоянным членом 1 определяется ( ${\displaystyle \textstyle \log(1-tS)=-\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}(tS)^{i}}$).

Смотрите также

• Личности Ньютона
• Квазисимметричная функция

использованная литература

• Макдональд, И.Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 с. ISBN  0-19-853530-9 Г-Н553598
• Макдональд, И.Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр.ISBN  0-19-853489-2 Г-Н1354144
• Стэнли, Ричард П. Перечислительная комбинаторика, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN  0-521-56069-1 (переплет) ISBN  0-521-78987-7 (мягкая обложка).