Алгебраическая комбинаторика - Algebraic combinatorics

Об академическом журнале см. Алгебраическая комбинаторика (журнал).
Фано матроид, полученный из Самолет Фано. Матроиды - одна из многих областей, изучаемых в алгебраическая комбинаторика.

Алгебраическая комбинаторика это область математика который использует методы абстрактная алгебра, особенно теория групп и теория представлений, в различных комбинаторный контекстах и, наоборот, применяет комбинаторные методы к проблемам в алгебра.

История

Термин «алгебраическая комбинаторика» был введен в конце 1970-х годов.[1] В начале или середине 1990-х годов типичные комбинаторные объекты, представлявшие интерес для алгебраической комбинаторики, либо допускали много симметрии (схемы ассоциации, сильно регулярные графы, позы с групповое действие ) или обладал богатой алгебраической структурой, часто теоретико-представительного происхождения (симметричные функции, Молодые картины ). Этот период отражается в области 05E, Алгебраическая комбинаторика, из AMS Классификация предметов математики, введена в 1991 году.

Объем

Алгебраическая комбинаторика стала более широко рассматриваться как область математики, в которой взаимодействие комбинаторных и алгебраических методов особенно сильно и существенно. Таким образом, комбинаторные темы могут быть перечислительный в природе или включают матроиды, многогранники, частично упорядоченные наборы, или конечная геометрия. С алгебраической стороны, помимо теории групп и представлений, теория решетки и коммутативная алгебра обычные.

Важные темы

Симметричные функции

Основная статья: Кольцо симметричных функций

В кольцо симметричных функций - конкретный предел колец симметричные многочлены в п неопределенный, поскольку п уходит в бесконечность. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между симметричными многочленами могут быть выражены способом, не зависящим от числа п неопределенностей (но его элементы не являются ни многочленами, ни функциями). Помимо прочего, это кольцо играет важную роль в теория представлений симметрических групп.

Схемы ассоциации

Основная статья: Схема ассоциации

An схема ассоциации это собрание бинарные отношения удовлетворяющие определенным условиям совместимости. Схемы ассоциации обеспечивают единый подход ко многим темам, например комбинаторные конструкции и теория кодирования.[2][3] В алгебре схемы ассоциаций обобщают группы, а теория ассоциативных схем обобщает теория характера из линейные представления групп.[4][5][6]

Сильно регулярные графы

Основная статья: Сильно регулярный граф

А сильно регулярный граф определяется следующим образом. Позволять г = (V,E) быть регулярный график с v вершины и степень k. г как говорят строго регулярный если есть также целые числа λ и μ такие, что:

  • Каждые два смежные вершины имеют λ общих соседей.
  • Каждые две несмежные вершины имеют μ общих соседей.

Граф такого типа иногда называют srg (v, k, λ, μ).

Некоторые авторы исключают графы, которые тривиально удовлетворяют определению, а именно те графы, которые представляют собой несвязное объединение одного или нескольких одинаковых полные графики,[7][8] и их дополняет, то Графики Турана.

Молодые картины

Основная статья: Молодая картина

А Молодая картина (пл .: картины) это комбинаторный объект полезен в теория представлений и Исчисление Шуберта. Это удобный способ описать групповые представления из симметричный и общий линейный группы и изучить их свойства. Юные картины были представлены Альфред Янг, а математик в Кембриджский университет, в 1900 году. Затем они были применены к изучению симметрической группы Георг Фробениус в 1903 г. Их теория получила дальнейшее развитие многими математиками, в том числе Перси МакМахон, В. В. Д. Ходж, Г. де Б. Робинсон, Джан-Карло Рота, Ален Ласку, Марсель-Пауль Шютценбергер и Ричард П. Стэнли.

Матроиды

Основная статья: Matroid

А матроид представляет собой структуру, которая фиксирует и обобщает понятие линейная независимость в векторные пространства. Существует множество эквивалентных способов определения матроида, наиболее значимые из которых связаны с независимыми множествами, базисами, схемами, замкнутыми множествами или плоскостями, операторами замыкания и функциями ранжирования.

Теория матроидов во многом заимствует терминологию линейная алгебра и теория графов во многом потому, что это абстракция различных понятий, имеющих центральное значение в этих областях. Матроиды нашли применение в геометрии, топология, комбинаторная оптимизация, теория сети и теория кодирования.[9][10]

Конечная геометрия

Основная статья: Конечная геометрия

А конечная геометрия есть ли геометрический система, которая имеет только конечный количество точки Знакомые Евклидова геометрия не конечно, потому что евклидова прямая содержит бесконечно много точек. Геометрия, основанная на графике, отображаемой на экране компьютера, где пиксели считаются точками, будет конечной геометрией. Хотя существует множество систем, которые можно назвать конечной геометрией, внимание в основном уделяется конечной геометрии. проективный и аффинные пространства из-за их регулярности и простоты. Другие важные типы конечной геометрии конечны. Мёбиуса или инверсивные плоскости и Самолеты Лагерра, которые являются примерами общего типа, называемого Самолеты Benz, и их многомерные аналоги, такие как высшие конечные инверсивные геометрии.

Конечная геометрия может быть построена с помощью линейная алгебра, начиная с векторные пространства через конечное поле; аффинное и проективные плоскости так построенные называются Галуа геометрии. Конечная геометрия также может быть определена чисто аксиоматически. Наиболее распространенными конечными геометриями являются геометрии Галуа, поскольку любая конечная геометрия проективное пространство размерности три или больше изоморфный в проективное пространство над конечным полем (то есть проективизация векторного пространства над конечным полем). Однако у размерности два есть аффинные и проективные плоскости, которые не изоморфны геометрии Галуа, а именно недезарговские планы. Подобные результаты справедливы и для других типов конечных геометрий.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Алгебраическая комбинаторика Эйити Баннаи
  2. ^ Баннаи и Ито 1984
  3. ^ Годсил 1993
  4. ^ Бейли 2004, стр. 387
  5. ^ Цишанг 2005b
  6. ^ Zieschang 2005a
  7. ^ "Брауэр, Андрис Э; Хемерс, Виллем Х. Спектры графиков. п. 101 " (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2012-03-16. Получено 2014-10-10.
  8. ^ Годсил, Крис; Ройл, Гордон. Алгебраическая теория графов. Springer-Verlag New York, 2001, стр. 218.
  9. ^ Нил, Дэвид Л .; Нойдауэр, Нэнси Энн (2009). "Матроиды, которые вы знали" (PDF). Математический журнал. 82 (1): 26–41. Дои:10.4169 / 193009809x469020. Получено 4 октября 2014.
  10. ^ Кашьяп, Навин; Солянин, Эмина; Вонтобель, Паскаль. «Приложения теории матроидов и комбинаторной оптимизации к теории информации и кодирования» (PDF). www.birs.ca. Получено 4 октября 2014.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка