Вейвлет Пуассона - Poisson wavelet - Wikipedia

В математике, в функциональном анализе, несколько различных вейвлеты известны по имени Вейвлет Пуассона. В одном контексте термин «вейвлет Пуассона» используется для обозначения семейства вейвлетов, помеченных набором положительные целые числа, члены которого связаны с Распределение вероятностей Пуассона. Эти вейвлеты были впервые определены и изучены Карлин А. Косанович, Алланом Р. Мозером и Майклом Дж. Пиовосо в 1995–96 гг.^[1][2] В другом контексте термин относится к определенному вейвлету, который включает форму интегрального ядра Пуассона.^[3] В еще одном контексте терминология используется для описания семейства комплексных всплесков, индексированных положительными целыми числами, которые связаны с производными интегрального ядра Пуассона.^[4]

Всплески, связанные с распределением вероятностей Пуассона

Определение

Члены семейства вейвлетов Пуассона, соответствующие п = 1, 2, 3, 4.

Для каждого положительного целого числа п вейвлет Пуассона ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ определяется

${\displaystyle \psi _{n}(t)={\begin{cases}\left({\frac {t-n}{n!}}\right)t^{n-1}e^{-t}&{\text{ for }}t\geq 0\\0&{\text{ for }}t<0.\end{cases}}}$

Чтобы увидеть связь между вейвлетом Пуассона и распределением Пуассона, пусть Икс - дискретная случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром (средним) т и для каждого неотрицательного целого числа п, пусть Prob (Икс = п) = п_п(т). Тогда у нас есть

${\displaystyle p_{n}(t)={\frac {t^{n}}{n!}}e^{-t}.}$

Вейвлет Пуассона ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ теперь дается

${\displaystyle \psi _{n}(t)=-{\frac {d}{dt}}p_{n}(t).}$

Основные свойства

• ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ - обратная разница значений распределения Пуассона:

${\displaystyle \psi _{n}(t)=p_{n}(t)-p_{n-1}(t).}$

• "Волнистость" членов этого семейства вейвлетов следует из

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(t)\,dt=0.}$

• Преобразование Фурье ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ дано

${\displaystyle \Psi (\omega )={\frac {-i\omega }{(1+i\omega )^{n+1}}}.}$

• Константа допустимости, связанная с ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ является

${\displaystyle C_{\psi _{n}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left|\Psi _{n}(\omega )\right|^{2}}{|\omega |}}\,d\omega ={\frac {1}{n}}.}$

• Вейвлет Пуассона не является ортогональным семейством вейвлетов.

Вейвлет-преобразование Пуассона

Семейство пуассоновских вейвлетов можно использовать для построения семейства вейвлет-преобразований Пуассона функций, определяющих временную область. Поскольку вейвлеты Пуассона также удовлетворяют условию допустимости, функции во временной области могут быть восстановлены из их вейвлет-преобразований Пуассона с использованием формулы для обратных вейвлет-преобразований с непрерывным временем.

Если ж(т) является функцией во временной области, ее п-ое вейвлет-преобразование Пуассона дается формулой

${\displaystyle (W_{n}f)(a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{n}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$

В обратном направлении, учитывая п-я вейвлет-преобразование Пуассона ${\displaystyle (W_{n}f)(a,b)}$ функции ж(т) во временной области функция ж(т) можно реконструировать следующим образом:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{C_{\psi _{n}}}}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }\,\left\{(W_{n}f)(a,b){\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\psi _{n}\left({\frac {t-b}{a}}\right)\,\right\}db\right]{\frac {da}{a^{2}}}}$

Приложения

Преобразования пуассоновских вейвлетов применялись в анализе с несколькими разрешениями, идентификации систем и оценке параметров. Они особенно полезны при изучении задач, в которых функции во временной области состоят из линейных комбинаций убывающих экспонент с временной задержкой.

Вейвлет, связанный с ядром Пуассона

Изображение вейвлета, связанного с ядром Пуассона.

Изображение преобразования Фурье вейвлета, связанного с ядром Пуассона.

Определение

Вейвлет Пуассона определяется функцией^[3]

${\displaystyle \psi (t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}}}$

Это можно выразить в виде

${\displaystyle \psi (t)=P(t)+t{\frac {d}{dt}}P(t)}$ куда ${\displaystyle P(t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{1+t^{2}}}}$.

Связь с ядром Пуассона

Функция ${\displaystyle P(t)}$ появляется как интегральное ядро в решении определенного проблема начального значения из Оператор Лапласа.

Это проблема начального значения: при любом ${\displaystyle s(x)}$ в ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$найти гармоническую функцию ${\displaystyle \phi (x,y)}$ определено в верхняя полуплоскость удовлетворяющие следующим условиям:

1. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\phi (x,y)|^{p}\,dx\leq c<\infty }$, и
2. ${\displaystyle \phi (x,y)\rightarrow s(x)}$ в качестве ${\displaystyle y\rightarrow 0}$ в ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$.

Проблема имеет следующее решение: есть ровно одна функция ${\displaystyle \phi (x,y)}$ удовлетворяющий двум условиям, и он задается

${\displaystyle \phi (t,y)=P_{y}(t)\star s(t)}$

куда ${\displaystyle P_{y}(t)={\frac {1}{y}}P\left({\frac {t}{y}}\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {y}{t^{2}+y^{2}}}}$ и где "${\displaystyle \star }$"обозначает операция свертки. Функция ${\displaystyle P_{y}(t)}$ - интегральное ядро ​​функции ${\displaystyle \phi (x,y)}$. Функция ${\displaystyle \phi (x,y)}$ является гармоническим продолжением ${\displaystyle s(x)}$ в верхнюю полуплоскость.

Характеристики

• «Волнистость» функции следует из

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$.

• Преобразование Фурье ${\displaystyle \psi (t)}$ дан кем-то

${\displaystyle \Psi (\omega )=|\omega |e^{-|\omega |}}$.

• Константа допустимости равна

${\displaystyle C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left|\Psi (\omega )\right|^{2}}{|\omega |}}\,d\omega =2.}$

Класс сложных вейвлетов, связанных с ядром Пуассона

Графики действительных частей вейвлета Пуассона ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ за ${\displaystyle n=1,2,3,4}$.

Графики мнимых частей вейвлета Пуассона ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ за ${\displaystyle n=1,2,3,4}$.

Определение

Вейвлет Пуассона - это семейство комплекснозначных функций, индексированных набором натуральных чисел и определяемых как^[4][5]

${\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}(1-it)^{-(n+1)}}$ куда ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

Связь с ядром Пуассона

Функция ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ можно выразить как п-я производная следующим образом:

${\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left((1-it)^{-1}\right)}$

Написание функции ${\displaystyle (1-it)^{-1}}$ в терминах интегрального ядра Пуассона ${\displaystyle P(t)={\frac {1}{1+t^{2}}}}$ в качестве

${\displaystyle (1-it)^{-1}=P(t)+itP(t)}$

у нас есть

${\displaystyle \psi _{n}(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}P(t)+i\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {1}{n!\,i^{n}}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\left(tP(t)\right)\right)}$

Таким образом ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ можно интерпретировать как функцию, пропорциональную производным ядра интеграла Пуассона.

Характеристики

Преобразование Фурье ${\displaystyle \psi _{n}(t)}$ дан кем-то

${\displaystyle \Psi _{n}(\omega )={\frac {1}{\Gamma (n+1)}}\omega ^{n}e^{-\omega }u(\omega )}$

куда ${\displaystyle u(\omega )}$ это функция шага единицы.

Рекомендации

1. Карлин А. Косанович, Аллан Р. Мозер и Майкл Дж. Пиовосо (1996). «Вейвлет-преобразование Пуассона». Химико-инженерные коммуникации. 146 (1): 131–138.
2. Карлин А. Косанович, Аллан Р. Мозер и Майкл Дж. Пиовосо (1997). «Новое семейство вейвлетов: вейвлет-преобразование Пуассона». Компьютеры в химической инженерии. 21 (6): 601–620.
3. Роланд Клиз, Роджер Хаагманс (редакторы) (2000). Вейвлеты в науках о Земле. Берлин: Springer. С. 18–20.
4. Абдул Дж. Джерри (1998). Феномен Гиббса в анализе Фурье, сплайнах и вейвлет-аппроксимациях. Дордрех: Springer Science + Business Media. стр.222 –224. ISBN  978-1-4419-4800-7.
5. Войбор А. Войчинский (1997). Распределения в физических и технических науках: распределительное и фрактальное исчисление, интегральные преобразования и всплески, том 1. Springer Science & Business Media. п. 223. ISBN  9780817639242.