Полиномиальное диофантово уравнение - Polynomial Diophantine equation

В математика, а полиномиальное диофантово уравнение является неопределенный многочлен уравнение для которых ищут решения, ограниченные многочлены в неопределенном. А Диофантово уравнение, в общем, это тот, где решения ограничены некоторой алгебраической системой, обычно целыми числами. (В другом использовании) Диофантин относится к Эллинистический математик 3 века, Диофант из Александрия, который провел начальные исследования целочисленных диофантовых уравнений.

Важный тип полиномиальных диофантовых уравнений имеет вид:

{displaystyle sa + tb = c}

куда а, б, и c являются известными полиномами, и мы хотим решить для s ит.

Простой пример (и решение):

{displaystyle s (x ^ {2} +1) + t (x ^ {3} +1) = 2x}

{displaystyle s = -x ^ {3} -x ^ {2} + x}

{displaystyle t = x ^ {2} + x.}

Необходимым и достаточным условием того, чтобы полиномиальное диофантово уравнение имело решение, является c быть кратным НОД из а иб. В приведенном выше примере НОД а и б было 1, поэтому решения будут существовать для любого значения c.

Решения полиномиальных диофантовых уравнений не единственны. Любое кратное ${displaystyle ab}$ (сказать ${displaystyle rab}$ ) можно использовать для преобразования ${displaystyle s}$ и ${displaystyle t}$ в другое решение ${displaystyle s '= s + rb}$ ${displaystyle t '= t-ra}$ :

{displaystyle (s + rb) a + (t-ra) b = c.}

Некоторые полиномиальные диофантовы уравнения могут быть решены с помощью расширенный алгоритм Евклида, который работает как с полиномами, так и с целыми числами.

Полиномиальное диофантово уравнение - Polynomial Diophantine equation

Рекомендации