Положительные и отрицательные части - Positive and negative parts

В математика, то положительная часть из настоящий или расширенный реальный -ценный функция определяется формулой

${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\mbox{ if }}f(x)>0\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

Интуитивно график из ${\displaystyle f^{+}}$ получается, если взять график ${\displaystyle f}$, отрубив часть под Иксось, и позволяя ${\displaystyle f^{+}}$ возьмите там нулевое значение.

Точно так же отрицательная часть из ж определяется как

${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\mbox{ if }}f(x)<0\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

Обратите внимание, что оба ж⁺ и ж⁻ неотрицательные функции. Особенность терминологии в том, что «отрицательная часть» не является ни отрицательной, ни частью (как мнимая часть комплексное число не является ни мнимым, ни частичным).

Если мы объединимся вместе, мы сможем сделать

${\displaystyle f^{\pm }(x)=\mathrm {med} (f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\mbox{ if }}f(x)=0\\0&{\mbox{ otherwise.}}\end{cases}}}$

Функция ж можно выразить через ж⁺ и ж⁻ так как

${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}.}$

Также обратите внимание, что

${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}}$.

Используя эти два уравнения, можно выразить положительную и отрицательную части как

${\displaystyle f^{+}={\frac {|f|+f}{2}}}$

${\displaystyle f^{-}={\frac {|f|-f}{2}}.}$

Другое представление, использующее Кронштейн Айверсона является

${\displaystyle f^{+}=[f>0]f}$

${\displaystyle f^{-}=-[f<0]f.}$

Можно определить положительную и отрицательную части любой функции со значениями в линейно упорядоченная группа.

Теоретико-меры свойства

Учитывая измеримое пространство (Икс, Σ) расширенная вещественнозначная функция ж является измеримый если и только если его положительные и отрицательные части есть. Следовательно, если такая функция ж измеримо, как и его абсолютное значение |ж|, являясь суммой двух измеримых функций. Обратное, однако, не обязательно: например, взяв ж так как

${\displaystyle f=1_{V}-{1 \over 2},}$

куда V это Виталий набор, ясно, что ж не поддается измерению, но его абсолютное значение является постоянной функцией.

Положительная часть и отрицательная часть функции используются для определения Интеграл Лебега для действительной функции. Аналогично этому разложению функции можно разложить подписанная мера на положительные и отрицательные части - см. Теорема Хана о разложении.

Смотрите также

• Выпрямитель (нейронные сети)
• Четные и нечетные функции
• Реальные и мнимые части

Рекомендации

• Джонс, Фрэнк (2001). Интегрирование Лебега на евклидовом пространстве, Ред. Ред.. Садбери, штат Массачусетс: Джонс и Бартлетт. ISBN  0-7637-1708-8.

• Хантер, Джон К; Nachtergaele, Бруно (2001). Прикладной анализ. Сингапур; Ривер Эдж, штат Нью-Джерси: World Scientific. ISBN  981-02-4191-7.

• Рана, Индер К. (2002). Введение в измерение и интеграцию, 2-е изд.. Провиденс, Р.И .: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2974-2.

внешняя ссылка

• Положительная часть на MathWorld