Положительные и отрицательные наборы - Positive and negative sets

В теория меры, учитывая измеримое пространство (Икс, Σ) и a подписанная мера μ на нем множество А ∈ Σ называется положительный набор для μ, если каждое Σ-измеримое подмножество А имеет неотрицательную меру; то есть для каждого E ⊆ А это удовлетворяет E ∈ Σ, μ (E) ≥ 0.

Аналогично множество А ∈ Σ называется отрицательный набор для μ, если для каждого подмножества E из А удовлетворение E ∈ Σ, μ (E) ≤ 0.

Интуитивно измеримое множество А положительно (соответственно отрицательно) для μ, если μ неотрицательно (соответственно неположительно) всюду на А. Конечно, если μ - неотрицательная мера, каждый элемент Σ является положительным множеством для μ.

В свете Теорема Радона – Никодима, если ν - такая σ-конечная положительная мера, что | μ | ≪ ν, множество А положительное множество для μ если и только если производная Радона – Никодима dμ / dν неотрицательна ν-почти всюду на А. Точно так же отрицательное множество - это множество, где dμ / dν ≤ 0 ν-почти всюду.

Характеристики

Из определения следует, что каждое измеримое подмножество положительного или отрицательного множества также положительно или отрицательно. Кроме того, объединение последовательности положительных или отрицательных множеств также является положительным или отрицательным; более формально, если (Ап)п последовательность положительных множеств, то

также положительный набор; то же самое верно, если слово «положительный» заменить словом «отрицательный».

Набор, который является как положительным, так и отрицательным, представляет собой μ-нулевой набор, если E является измеримым подмножеством положительного и отрицательного множества А, то оба μ (E) ≥ 0 и μ (E) ≤ 0, поэтому μ (E) = 0.

Разложение Хана

В Теорема Хана о разложении утверждает, что для каждого измеримого пространства (Икс, Σ) со знаковой мерой μ существует раздел из Икс на положительный и отрицательный набор; такая перегородка (п,N) уникален вплоть до μ-нулевых множеств и называется Разложение Хана знаковой меры μ.

Учитывая разложение Хана (п,N) из Икс, легко показать, что А ⊆ Икс положительное множество тогда и только тогда, когда А отличается от подмножества п набором μ-нулей; эквивалентно, если А−п является μ-нулевым. То же верно и для отрицательных множеств, если N используется вместо п.