Положительный элемент - Positive element

В математика, особенно функциональный анализ, а самосопряженный (или же Эрмитский ) элемент ${\displaystyle A}$ из C * -алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ называется положительный если это спектр ${\displaystyle \sigma (A)}$ состоит из неотрицательных действительных чисел. Более того, элемент ${\displaystyle A}$ C * -алгебры ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ положительно тогда и только тогда, когда есть ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ такой, что ${\displaystyle A=B^{*}B}$. Положительный элемент самосопряжен и, следовательно, нормальный.

Если ${\displaystyle T}$ это ограниченный линейный оператор на комплексе Гильбертово пространство ${\displaystyle H}$, то это понятие совпадает с условием, что ${\displaystyle \langle Tx,x\rangle }$ неотрицательна для любого вектора ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle H}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle \langle Tx,x\rangle }$ реально для каждого ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle H}$ если и только если ${\displaystyle T}$ самосопряженный. Следовательно, положительный оператор в гильбертовом пространстве всегда самосопряженный (и самосопряженный везде определено оператор в гильбертовом пространстве всегда ограничен из-за Теорема Хеллингера-Теплица ).

Множество положительных элементов C * -алгебры образует выпуклый конус.

Положительные и положительно определенные операторы

Ограниченный линейный оператор ${\displaystyle P}$ на внутреннее пространство продукта ${\displaystyle V}$ как говорят положительный (или же положительно полуопределенный) если ${\displaystyle P=S^{*}S}$ для некоторого ограниченного оператора ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle V}$, и считается положительно определенный если ${\displaystyle S}$ это также неособый.

(Я) Следующие условия для ограниченного оператора ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle V}$ быть положительно полуопределенными эквивалентны:

• ${\displaystyle P=S^{*}S}$ для некоторого ограниченного оператора ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle V}$,
• ${\displaystyle P=T^{2}}$ для некоторого самосопряженного оператора ${\displaystyle T}$ на ${\displaystyle V}$,
• ${\displaystyle \langle Pu,u\rangle \geq 0,\forall u\in V}$.

(II) Следующие условия для ограниченного оператора ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle V}$ быть положительно определенными эквивалентны:

• ${\displaystyle P=S^{*}S}$ для некоторого неособого ограниченного оператора ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle V}$,
• ${\displaystyle P=T^{2}}$ для некоторого неособого самосопряженного оператора ${\displaystyle T}$ на ${\displaystyle V}$,
• ${\displaystyle \langle Pu,u\rangle >0,\forall u\neq 0}$ в ${\displaystyle V}$.

(III) Сложная матрица ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$ представляет собой положительный (полу) определенный оператор тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ является Эрмитский (или самосопряженные) и ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle \det(A)=ad-bc}$ являются (строго) положительными действительными числами.

Примеры

• Следующая матрица ${\displaystyle A}$ не является положительно определенным, поскольку ${\displaystyle \det(A)=0}$. Тем не мение, ${\displaystyle A}$ положительно полуопределено, поскольку ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle d=1}$ и ${\displaystyle \det(A)=0}$ неотрицательны.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.}$

Частичное упорядочивание с использованием положительности

Определив

${\displaystyle A\geq B\iff A-B{\text{ is positive}}}$

для самосопряженных элементов в C * -алгебре ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, получаем частичный заказ на множестве самосопряженных элементов в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Заметим, что согласно этому определению мы имеем ${\displaystyle A\geq 0}$ если и только если ${\displaystyle A}$ положительно, что удобно.

Этот частичный порядок аналогичен естественному порядку действительных чисел, но лишь до некоторой степени. Например, он уважает умножение на положительные действительные числа и сложение самосопряженных элементов, но ${\displaystyle AB\geq CD}$ не обязательно иметь положительные элементы ${\displaystyle A,B,C,D\in {\mathcal {A}}}$ с ${\displaystyle A\geq C}$ и ${\displaystyle B\geq D}$.

Рекомендации

• Конвей, Джон (1990), Курс функционального анализа, Springer Verlag, ISBN  0-387-97245-5