Оценка Прейса – Винстена - Prais–Winsten estimation

В эконометрика, Оценка Прейса – Винстена это процедура, предназначенная для ухода за серийная корреляция типа AR (1) в линейная модель. Задуманный Зигберт Прайс и Кристофер Винстен в 1954 г.,^[1] это модификация Оценка Кокрейна – Оркатта в том смысле, что он не теряет первое наблюдение, что приводит к большему количеству эффективность в результате и делает его частным случаем допустимые обобщенные методы наименьших квадратов.^[2]

Теория

Рассмотрим модель

${\displaystyle y_{t}=\alpha +X_{t}\beta +\varepsilon _{t},\,}$

куда ${\displaystyle y_{t}}$ это Временные ряды интересное время т, ${\displaystyle \beta }$ это вектор коэффициентов, ${\displaystyle X_{t}}$ это матрица объясняющие переменные, и ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ это срок ошибки. Термин ошибки может быть серийно коррелированный через некоторое время: ${\displaystyle \varepsilon _{t}=\rho \varepsilon _{t-1}+e_{t},\ |\rho |<1}$ и ${\displaystyle e_{t}}$ это белый шум. В дополнение к преобразованию Кокрейна – Оркатта, которое

${\displaystyle y_{t}-\rho y_{t-1}=\alpha (1-\rho )+\beta (X_{t}-\rho X_{t-1})+e_{t},\,}$

за т = 2,3,...,Т, процедура Прайса-Винстена делает разумное преобразование для т = 1 в следующем виде:

${\displaystyle {\sqrt {1-\rho ^{2}}}y_{1}=\alpha {\sqrt {1-\rho ^{2}}}+\left({\sqrt {1-\rho ^{2}}}X_{1}\right)\beta +{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\varepsilon _{1}.\,}$

Тогда обычный наименьших квадратов оценка сделана.

Порядок оценки

Чтобы сделать оценку компактным способом, необходимо посмотреть на автоковариационную функцию члена ошибки, рассматриваемого в модельном ударе:

${\displaystyle \mathrm {cov} (\varepsilon _{t},\varepsilon _{t+h})={\frac {\rho ^{h}}{1-\rho ^{2}}},{\text{ for }}h=0,\pm 1,\pm 2,\dots \,.}$

Легко увидеть, что матрица дисперсии-ковариации, ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$, модели

${\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]{\frac {\rho ^{2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho }{1-\rho ^{2}}}&{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}\\[8pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[8pt]{\frac {\rho ^{T-1}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-2}}{1-\rho ^{2}}}&{\frac {\rho ^{T-3}}{1-\rho ^{2}}}&\cdots &{\frac {1}{1-\rho ^{2}}}\end{bmatrix}}.}$

Имея ${\displaystyle \rho }$ (или его оценку), мы видим, что,

${\displaystyle {\hat {\Theta }}=(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Z} )^{-1}(\mathbf {Z} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {Y} ),\,}$

куда ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ матрица наблюдений за независимой переменной (Икс_т, т = 1, 2, ..., Т) включая вектор единиц, ${\displaystyle \mathbf {Y} }$ вектор, суммирующий наблюдения зависимой переменной (у_т, т = 1, 2, ..., Т) и ${\displaystyle {\hat {\Theta }}}$ включает параметры модели.

Примечание

Чтобы понять, почему первоначальное предположение о наблюдении, сформулированное Прайсом – Винстеном (1954), является разумным, полезно рассмотреть механику обобщенной процедуры оценки методом наименьших квадратов, описанную выше. Обратное ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$ можно разложить как ${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{-1}=\mathbf {G} ^{\mathsf {T}}\mathbf {G} }$ с^[3]

${\displaystyle \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}&0&0&\cdots &0\\-\rho &1&0&\cdots &0\\0&-\rho &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Предварительное умножение модели в матричной записи на эту матрицу дает преобразованную модель Прайса – Винстена.

Ограничения

В срок ошибки все еще ограничен типом AR (1). Если ${\displaystyle \rho }$ не известно, рекурсивная процедура (Оценка Кокрейна – Оркатта ) или поиск по сетке (Оценка Хильдрет – Лу ) можно использовать, чтобы сделать оценку выполнимой. В качестве альтернативы полная информация максимальная вероятность процедура, которая оценивает все параметры одновременно, была предложена Бич и Маккиннон.^[4][5]

Рекомендации

1. Prais, S.J .; Винстен, К. Б. (1954). «Оценщики трендов и последовательная корреляция» (PDF). Документ для обсуждения Комиссии Коулза № 383. Чикаго.
2. Джонстон, Джон (1972). Эконометрические методы (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 259–265.
3. Кадияла, Котешвара Рао (1968). «Преобразование, используемое для обхода проблемы автокорреляции». Econometrica. 36 (1): 93–96. JSTOR  1909605.
4. Пляж, Чарльз М .; Маккиннон, Джеймс Г. (1978). «Процедура максимального правдоподобия для регрессии с автокоррелированными ошибками». Econometrica. 46 (1): 51–58. JSTOR  1913644.
5. Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика. Кембридж: Издательство Гарвардского университета. С. 190–191. ISBN  0-674-00560-0.

дальнейшее чтение

• Судья, Джордж Г .; Гриффитс, Уильям Э .; Хилл, Р. Картер; Ли, Цунг-Чао (1980). Теория и практика эконометрики. Нью-Йорк: Вили. С. 180–183. ISBN  0-471-05938-2.
• Кмента Ян (1986). Элементы эконометрики (Второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр.302–320. ISBN  0-02-365070-2.