Функция Прандтля – Мейера - Prandtl–Meyer function - Wikipedia

Вариация функции Прандтля – Мейера (${\displaystyle \nu }$) с числом Маха (${\displaystyle M}$) и соотношением удельной теплоемкости (${\displaystyle \gamma }$). Пунктирными линиями показано предельное значение ${\displaystyle \nu _{\text{max}}}$ поскольку число Маха стремится к бесконечности.

В аэродинамика, то Функция Прандтля – Мейера описывает угол поворота потока изэнтропически от скорости звука (M = 1) до Число Маха (М) больше 1. Максимальный угол, через который звуковой (M = 1) поток можно повернуть вокруг выпуклого угла рассчитывается для M = ${\displaystyle \infty }$. Для идеальный газ, это выражается следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu (M)&=\int {\frac {\sqrt {M^{2}-1}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}{\frac {\,dM}{M}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}\cdot \arctan {\sqrt {{\frac {\gamma -1}{\gamma +1}}(M^{2}-1)}}-\arctan {\sqrt {M^{2}-1}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \nu \,}$ - функция Прандтля – Мейера, ${\displaystyle M}$ - число Маха потока, а ${\displaystyle \gamma }$ это соотношение удельных теплоемкостей.

Условно постоянная интегрирования выбирается такой, чтобы ${\displaystyle \nu (1)=0.\,}$

Поскольку число Маха изменяется от 1 до ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle \nu \,}$ принимает значения от 0 до ${\displaystyle \nu _{\text{max}}\,}$, куда

${\displaystyle \nu _{\text{max}}={\frac {\pi }{2}}{\bigg (}{\sqrt {\frac {\gamma +1}{\gamma -1}}}-1{\bigg )}}$

Для изоэнтропического расширения	${\displaystyle \nu (M_{2})=\nu (M_{1})+\theta \,}$
Для изоэнтропического сжатия	${\displaystyle \nu (M_{2})=\nu (M_{1})-\theta \,}$

куда, ${\displaystyle \theta }$ - абсолютное значение угла поворота потока, ${\displaystyle M}$ - число Маха потока, а суффиксы «1» и «2» обозначают начальное и конечное условия соответственно.

Смотрите также

• Газовая динамика
• Вентилятор расширения Прандтля – Мейера

Рекомендации

• Liepmann, Hans W .; Рошко, А. (2001) [1957]. Элементы газодинамики. Dover Publications. ISBN  978-0-486-41963-3.