Предварительная мера - Pre-measure - Wikipedia

В математика, а предварительная мера это функция это в некотором смысле предшественник добросовестный мера на заданном пространстве. В самом деле, одна из фундаментальных теорем теории меры утверждает, что предварительная мера может быть расширена до меры.

Определение

Позволять р быть кольцо подмножеств (закрыто союз и относительное дополнение ) фиксированного набора Икс и разреши μ₀: р → [0, + ∞] - заданная функция. μ₀ называется предварительная мера если

${\displaystyle \mu _{0}(\emptyset )=0}$

и для каждого счетная (или конечная) последовательность {А_п}_п∈N ⊆ р из попарно непересекающиеся множества, объединение которых лежит в р,

${\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{n})}$.

Второе свойство называется σ-аддитивность.

Таким образом, для того, чтобы предварительная мера была мерой, не хватает того, что она не обязательно определяется на сигма-алгебра (или сигма-кольцо).

Теорема Каратеодори о продолжении

Основная статья: Теорема Каратеодори о продолжении

Оказывается, предварительные меры вполне естественно приводят к внешние меры, которые определены для всех подмножеств пространства Икс. Точнее, если μ₀ - предварительная мера, определенная на кольце подмножеств р пространства Икс, то заданная функция μ^∗ определяется

${\displaystyle \mu ^{*}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})\right|A_{i}\in R,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}$

это внешняя мера на Икс и мера μ индуцированный μ^∗ на σ-алгебре Σ измеримых по Каратеодори множеств удовлетворяет ${\displaystyle \mu (A)=\mu _{0}(A)}$ за ${\displaystyle A\in R}$ (в частности, Σ включает р). Нижняя грань пустого множества принимается равной ${\displaystyle +\infty }$.

(Обратите внимание, что есть некоторые вариации в терминологии, используемой в литературе. Например, Rogers (1998) использует термин «мера», где в данной статье используется термин «внешняя мера». Внешние меры, как правило, не являются мерами, поскольку они могут не быть σ-добавка.)

Смотрите также

• Теорема Хана-Колмогорова

Рекомендации

• Манро, М. Э. (1953). Введение в измерение и интеграцию. Кембридж, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company Inc., стр. 310. МИСТЕР0053186
• Роджерс, К. А. (1998). Хаусдорфовы меры. Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 195. ISBN  0-521-62491-6. МИСТЕР1692618 (См. Раздел 1.2.)
• Фолланд, Г. Б. (1999). Реальный анализ. Чистая и прикладная математика (второе изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр.30 –31. ISBN  0-471-31716-0.