Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта - Prouhet–Tarry–Escott problem - Wikipedia

В математика, то Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта просит двоих непересекающийся мультимножества А и B из п целые числа каждый, чей первый k степенная сумма симметричных многочленов все равны, то есть два мультимножества должны удовлетворять уравнениям

для каждого целого числа я от 1 до заданного k. Было показано, что п должно быть строго больше, чем k. Решения с называются идеальные решения. Идеальные решения известны и для . Нет идеального решения для или для .[1]

Эта проблема была названа в честь Эжен Пруэ, изучавшие его в начале 1850-х гг.,[2] и Гастон Терри и Эдвард Б. Эскотт, изучавший его в начале 1910-х годов. Проблема возникает из-за писем от Кристиан Гольдбах и Леонард Эйлер (1750/1751).

Примеры

Идеальные решения

Идеальное решение для п = 6 задается двумя наборами {0, 5, 6, 16, 17, 22} и {1, 2, 10, 12, 20, 21}, потому что:

01 + 51 + 61 + 161 + 171 + 221 = 11 + 21 + 101 + 121 + 201 + 211
02 + 52 + 62 + 162 + 172 + 222 = 12 + 22 + 102 + 122 + 202 + 212
03 + 53 + 63 + 163 + 173 + 223 = 13 + 23 + 103 + 123 + 203 + 213
04 + 54 + 64 + 164 + 174 + 224 = 14 + 24 + 104 + 124 + 204 + 214
05 + 55 + 65 + 165 + 175 + 225 = 15 + 25 + 105 + 125 + 205 + 215.

За п = 12, идеальное решение дается формулой А = {± 22, ± 61, ± 86, ± 127, ± 140, ± 151} и B = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146, ±148}.[3]

Другие решения

Пруэ использовал Последовательность Туэ – Морса построить решение с для любого . А именно, разделите числа от 0 до в злые числа и одиозные числа; тогда два набора перегородки дают решение проблемы.[4] Например, для и , Решение Пруэ:

01 + 31 + 51 + 61 + 91 + 101 + 121 + 151 = 11 + 21 + 41 + 71 + 81 + 111 + 131 + 141
02 + 32 + 52 + 62 + 92 + 102 + 122 + 152 = 12 + 22 + 42 + 72 + 82 + 112 + 132 + 142
03 + 33 + 53 + 63 + 93 + 103 + 123 + 153 = 13 + 23 + 43 + 73 + 83 + 113 + 133 + 143.

Обобщения

Версия более высокой размерности проблемы Пруэ – Тарри – Эскотта была введена и изучена Андреас Альперс и Роберт Тийдеман в 2007 г .: Данные параметры , найдите два разных набора , очков от такой, что

для всех с Эта проблема связана с дискретная томография а также приводит к специальным решениям Пруэ-Тарри-Эскотта по Гауссовские целые числа (хотя решения проблемы Альперса-Тийдемана не исчерпывают гауссовские целочисленные решения Пруэ-Тарри-Эскотта).

Решение для и дается, например:

и
.

Нет решений для с известны.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Borwein, п. 85
  2. ^ Новый вид науки [1]
  3. ^ Решение найдено Нуутти Куоса, Жан-Шарлем Мейриньяком и Чен Шувен в 1999 году..
  4. ^ Райт, Э. М. (1959), "Решение Пруэ в 1851 году проблемы Тарри-Эскотта 1910 года", Американский математический ежемесячник, 66: 199–201, Дои:10.2307/2309513, МИСТЕР  0104622.

Рекомендации

внешняя ссылка