Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта - Prouhet–Tarry–Escott problem - Wikipedia

В математика, то Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта просит двоих непересекающийся мультимножества А и B из п целые числа каждый, чей первый k степенная сумма симметричных многочленов все равны, то есть два мультимножества должны удовлетворять уравнениям

${\displaystyle \sum _{a\in A}a^{i}=\sum _{b\in B}b^{i}}$

для каждого целого числа я от 1 до заданного k. Было показано, что п должно быть строго больше, чем k. Решения с ${\displaystyle k=n-1}$ называются идеальные решения. Идеальные решения известны ${\displaystyle 3\leq n\leq 10}$ и для ${\displaystyle n=12}$. Нет идеального решения для ${\displaystyle n=11}$ или для ${\displaystyle n\geq 13}$.^[1]

Эта проблема была названа в честь Эжен Пруэ, изучавшие его в начале 1850-х гг.,^[2] и Гастон Терри и Эдвард Б. Эскотт, изучавший его в начале 1910-х годов. Проблема возникает из-за писем от Кристиан Гольдбах и Леонард Эйлер (1750/1751).

Примеры

Идеальные решения

Идеальное решение для п = 6 задается двумя наборами {0, 5, 6, 16, 17, 22} и {1, 2, 10, 12, 20, 21}, потому что:

0¹ + 5¹ + 6¹ + 16¹ + 17¹ + 22¹ = 1¹ + 2¹ + 10¹ + 12¹ + 20¹ + 21¹

0² + 5² + 6² + 16² + 17² + 22² = 1² + 2² + 10² + 12² + 20² + 21²

0³ + 5³ + 6³ + 16³ + 17³ + 22³ = 1³ + 2³ + 10³ + 12³ + 20³ + 21³

0⁴ + 5⁴ + 6⁴ + 16⁴ + 17⁴ + 22⁴ = 1⁴ + 2⁴ + 10⁴ + 12⁴ + 20⁴ + 21⁴

0⁵ + 5⁵ + 6⁵ + 16⁵ + 17⁵ + 22⁵ = 1⁵ + 2⁵ + 10⁵ + 12⁵ + 20⁵ + 21⁵.

За п = 12, идеальное решение дается формулой А = {± 22, ± 61, ± 86, ± 127, ± 140, ± 151} и B = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146, ±148}.^[3]

Другие решения

Пруэ использовал Последовательность Туэ – Морса построить решение с ${\displaystyle n=2^{k}}$ для любого ${\displaystyle k}$. А именно, разделите числа от 0 до ${\displaystyle 2^{k+1}-1}$ в злые числа и одиозные числа; тогда два набора перегородки дают решение проблемы.^[4] Например, для ${\displaystyle n=8}$ и ${\displaystyle k=3}$, Решение Пруэ:

0¹ + 3¹ + 5¹ + 6¹ + 9¹ + 10¹ + 12¹ + 15¹ = 1¹ + 2¹ + 4¹ + 7¹ + 8¹ + 11¹ + 13¹ + 14¹

0² + 3² + 5² + 6² + 9² + 10² + 12² + 15² = 1² + 2² + 4² + 7² + 8² + 11² + 13² + 14²

0³ + 3³ + 5³ + 6³ + 9³ + 10³ + 12³ + 15³ = 1³ + 2³ + 4³ + 7³ + 8³ + 11³ + 13³ + 14³.

Обобщения

Версия более высокой размерности проблемы Пруэ – Тарри – Эскотта была введена и изучена Андреас Альперс и Роберт Тийдеман в 2007 г .: Данные параметры ${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} }$, найдите два разных набора ${\displaystyle \{(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{n},y_{n})\}}$, ${\displaystyle \{(x_{1}',y_{1}'),\dots ,(x_{n}',y_{n}')\}}$ очков от ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ такой, что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{j}y_{i}^{d-j}=\sum _{i=1}^{n}{x'}_{i}^{j}{y'}_{i}^{d-j}}$

для всех ${\displaystyle d,j\in \{0,\dots ,k\}}$ с ${\displaystyle j\leq d.}$ Эта проблема связана с дискретная томография а также приводит к специальным решениям Пруэ-Тарри-Эскотта по Гауссовские целые числа (хотя решения проблемы Альперса-Тийдемана не исчерпывают гауссовские целочисленные решения Пруэ-Тарри-Эскотта).

Решение для ${\displaystyle n=6}$ и ${\displaystyle k=5}$ дается, например:

${\displaystyle \{(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{6},y_{6})\}=\{(2,1),(1,3),(3,6),(6,7),(7,5),(5,2)\}}$ и

${\displaystyle \{(x'_{1},y'_{1}),\dots ,(x'_{6},y'_{6})\}=\{(1,2),(2,5),(5,7),(7,6),(6,3),(3,1)\}}$.

Нет решений для ${\displaystyle n=k+1}$ с ${\displaystyle k\geq 6}$ известны.

Смотрите также

• Гипотеза Эйлера о сумме степеней
• Гипотеза Била
• Уравнение Якоби – Мэддена
• Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа
• Номер такси
• Пифагорейская четверка
• Суммы полномочий, список связанных гипотез и теорем
• Дискретная томография

Примечания

1. Borwein, п. 85 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFBorwein (помощь)
2. Новый вид науки [1]
3. Решение найдено Нуутти Куоса, Жан-Шарлем Мейриньяком и Чен Шувен в 1999 году..
4. Райт, Э. М. (1959), "Решение Пруэ в 1851 году проблемы Тарри-Эскотта 1910 года", Американский математический ежемесячник, 66: 199–201, Дои:10.2307/2309513, МИСТЕР  0104622.

Рекомендации

• Борвейн, Питер Б. (2002), "Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта", Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел, Книги CMS по математике, Springer-Verlag, стр. 85–96, ISBN  0-387-95444-9, получено 2009-06-16 Глава 11.
• Альперс, Андреас; Роб Тийдеман (2007), "Двумерная проблема Пруэ-Тарри-Эскотта" (PDF), Журнал теории чисел, 123 (2): 403–412, Дои:10.1016 / j.jnt.2006.07.001, получено 2015-04-01.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Проблема Пруэ-Тарри-Эскотта". MathWorld.