Очистка квантового состояния - Purification of quantum state

В квантовая механика, особенно квантовая информация, очищение относится к тому факту, что каждый смешанное состояние действующий на конечномерные гильбертовы пространства можно рассматривать как пониженное состояние какого-то чистого состояния.

С чисто линейной алгебраической точки зрения это можно рассматривать как утверждение о положительно-полуопределенные матрицы.

Заявление

Пусть ρ - матрица плотности действуя на Гильбертово пространство ${displaystyle H_{A}}$ конечной размерности п. Тогда можно построить второе гильбертово пространство ${displaystyle H_{B}}$ и чистое состояние ${displaystyle |psi angle in H_{A}otimes H_{B}}$ такое, что ρ - частичный след ${displaystyle |psi angle langle psi |}$ относительно ${displaystyle H_{B}}$. В то время как исходное гильбертово пространство ${displaystyle H_{A}}$ может соответствовать физически значимым величинам, второе гильбертово пространство ${displaystyle H_{B}}$ не нужно вообще никакой физической интерпретации. Однако в физике процесс очистки состояния считается физическим, и поэтому второе гильбертово пространство ${displaystyle H_{B}}$ также должны соответствовать физическому пространству, например окружающей среде. Точная форма ${displaystyle H_{B}}$ в таких случаях будет зависеть от проблемы. Вот Доказательство принципа, показывая, что по крайней мере ${displaystyle H_{B}}$ должен иметь размеры больше или равные ${displaystyle H_{A}}$.

Имея в виду эти утверждения, если,

${displaystyle operatorname {tr_{B}} left(|psi angle langle psi |ight)=ho ,}$

мы говорим, что ${displaystyle |psi angle }$ очищает ${displaystyle ho }$.

Доказательство

Матрица плотности по определению положительно полуопределенная. Таким образом, ρ может быть диагонализованный и написано как ${displaystyle ho =sum _{i=1}^{n}p_{i}|iangle langle i|}$ для некоторых основа ${displaystyle {|iangle }}$. Позволять ${displaystyle H_{B}}$ быть еще одной копией п-мерное гильбертово пространство с ортонормированный базис ${displaystyle {|i'angle }}$. Определять ${displaystyle |psi angle in H_{A}otimes H_{B}}$ к

${displaystyle |psi angle =sum _{i}{sqrt {p_{i}}}|iangle otimes |i'angle .}$

Прямой расчет дает

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {tr_{B}} left(|psi angle langle psi |ight)&=operatorname {tr_{B}} left[left(sum _{i}{sqrt {p_{i}}}|iangle otimes |i'angle ight)left(sum _{j}{sqrt {p_{j}}}langle j|otimes langle j'|ight)ight]&=operatorname {tr_{B}} left(sum _{i,j}{sqrt {p_{i}p_{j}}}|iangle langle j|otimes |i'angle langle j'|ight)&=sum _{i,j}delta _{ij}{sqrt {p_{i}p_{j}}}|iangle langle j|&=sum _{i}{sqrt {p_{i}}}^{2}|iangle langle i|&=ho .end{aligned}}}$

Это доказывает утверждение.

Примечание

• Очищение не уникальное, но если при строительстве ${displaystyle |psi angle }$ в доказательстве выше ${displaystyle H_{B}}$ генерируется только ${displaystyle {|i'angle }}$ для которого ${displaystyle p_{i}}$ не равно нулю, любая другая очистка ${displaystyle |varphi angle }$ на ${displaystyle H_{A}otimes H_{C}}$ вызывает изометрия ${displaystyle V:H_{B} o H_{C}}$ такой, что ${displaystyle |varphi angle =(Iotimes V)|psi angle }$.
• Векторное чистое состояние ${displaystyle |psi angle }$ находится в форме, указанной Разложение Шмидта.
• С квадратный корень разложения положительно полуопределенной матрицы не единственны, как и очищения.
• В терминах линейной алгебры квадратная матрица положительно полуопределенная если и только если его можно очистить в указанном выше смысле. В если часть импликации следует непосредственно из того факта, что частичный след положительного отображения остается положительная карта.

Приложение: теорема Стайнспринга

Объединив Теорема Чоя о вполне положительных отображениях и очистки смешанного состояния, мы можем восстановить Теорема Стайнспринга о расширении для конечномерного случая.