Частичный след - Partial trace

Левая сторона показывает полную матрицу плотности ${\displaystyle \rho _{AB}}$ системы двудольных кубитов. Частичная трассировка выполняется по подсистеме размерности 2 на 2 (матрица плотности одного кубита). Правая часть показывает результирующую уменьшенную матрицу плотности 2 на 2. ${\displaystyle \rho _{A}}$.

В линейная алгебра и функциональный анализ, то частичный след является обобщением след. В то время как след - это скаляр значная функция на операторах, частичный след является оператор -значная функция. Частичная трассировка имеет применение в квантовая информация и декогеренция что актуально для квантовое измерение и тем самым к декогерентным подходам к интерпретации квантовой механики, включая последовательные истории и интерпретация относительного состояния.

Подробности

Предполагать ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$ конечномерные векторные пространства над поле, с размеры ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, соответственно. Для любого пространства ${\displaystyle A}$, позволять ${\displaystyle L(A)}$ обозначим пространство линейные операторы на ${\displaystyle A}$. Частичный след за ${\displaystyle W}$ тогда записывается как ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)}$.

Он определяется следующим образом: Для ${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$, позволять ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$, и ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$, быть основанием для V и W соответственно; тогда Тимеет матричное представление

${\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n}$

относительно основы ${\displaystyle e_{k}\otimes f_{\ell }}$ из ${\displaystyle V\otimes W}$.

Теперь об индексах k, я в диапазоне 1, ..., мрассмотрим сумму

${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}.}$

Это дает матрицу б_{k, я}. Соответствующий линейный оператор на V не зависит от выбора базиса и по определению частичный след.

Среди физиков это часто называют «отслеживанием» или «отслеживанием». W оставить только оператора V в контексте, где W и V являются гильбертовыми пространствами, ассоциированными с квантовыми системами (см. ниже).

Инвариантное определение

Оператор частичного следа может быть определен инвариантно (то есть без ссылки на базис) следующим образом: это единственный линейный оператор

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\rightarrow \operatorname {L} (V)}$

такой, что

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(R\otimes S)=\operatorname {Tr} (S)\,R\quad \forall R\in \operatorname {L} (V)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W).}$

Чтобы убедиться, что приведенные выше условия однозначно определяют частичный след, пусть ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}}$ сформировать основу для ${\displaystyle V}$, позволять ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ сформировать основу для ${\displaystyle W}$, позволять ${\displaystyle E_{ij}\colon V\to V}$ быть картой, которая посылает ${\displaystyle v_{i}}$ к ${\displaystyle v_{j}}$ (и все остальные элементы базиса равны нулю), и пусть ${\displaystyle F_{kl}\colon W\to W}$ быть картой, которая посылает ${\displaystyle w_{k}}$ к ${\displaystyle w_{l}}$. Поскольку векторы ${\displaystyle v_{i}\otimes w_{k}}$ сформировать основу для ${\displaystyle V\otimes W}$, карты ${\displaystyle E_{ij}\otimes F_{kl}}$ сформировать основу для ${\displaystyle \operatorname {L} (V\otimes W)}$.

Из этого абстрактного определения следуют следующие свойства:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(I_{V\otimes W})=\dim W\ I_{V}}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}(T(I_{V}\otimes S))=\operatorname {Tr} _{W}((I_{V}\otimes S)T)\quad \forall S\in \operatorname {L} (W)\quad \forall T\in \operatorname {L} (V\otimes W).}$

Теоретико-категориальное понятие

Это частичный след линейных преобразований, который является предметом концепции Джояла, Стрита и Верити. Прослеженная моноидальная категория. Прослеживаемая моноидальная категория - это моноидальная категория ${\displaystyle (C,\otimes ,I)}$ вместе с, для объектов X, Y, U в категории функция Hom-множеств,

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{X,Y}^{U}\colon \operatorname {Hom} _{C}(X\otimes U,Y\otimes U)\to \operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

удовлетворяющие определенным аксиомам.

Другой случай этого абстрактного понятия частичного следа имеет место в категории конечных множеств и биекций между ними, в которой моноидальное произведение является дизъюнктным объединением. Можно показать, что для любых конечных множеств X, Y, U и биекция ${\displaystyle X+U\cong Y+U}$ существует соответствующая "частично прослеженная" биекция ${\displaystyle X\cong Y}$.

Частичный след для операторов в гильбертовых пространствах

Частичный след обобщается на операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Предполагать V, W являются гильбертовыми пространствами, и пусть

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$

быть ортонормированный базис за W. Теперь есть изометрический изоморфизм

${\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W}$

При таком разложении любой оператор ${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$ можно рассматривать как бесконечную матрицу операторов на V

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}$

куда ${\displaystyle T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)}$.

Сначала предположим Т неотрицательный оператор. В этом случае все диагональные элементы указанной выше матрицы являются неотрицательными операторами на V. Если сумма

${\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell }}$

сходится в сильная операторная топология из L (V), она не зависит от выбранного базиса W. Частичный след Tr_W(Т) определяется как этот оператор. Частичный след самосопряженного оператора определяется тогда и только тогда, когда определены частичные следы положительной и отрицательной частей.

Вычисление частичной трассировки

Предполагать W имеет ортонормированный базис, который мы обозначим через кет векторные обозначения как ${\displaystyle \{|\ell \rangle \}_{\ell }}$. потом

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}\left(\sum _{k,\ell }T^{(k\ell )}\,\otimes \,|k\rangle \langle \ell |\right)=\sum _{j}T^{(jj)}.}$

Верхние индексы в круглых скобках не представляют компоненты матрицы, а вместо этого обозначают саму матрицу.

Частичный след и инвариантное интегрирование

В случае конечномерных гильбертовых пространств есть полезный способ взглянуть на частичный след, включающий интегрирование по подходящей нормированной мере Хаара μ над унитарной группой U (W) из W. Соответствующим образом нормализованное означает, что μ берется как мера с общей массой dim (W).

Теорема. Предполагать V, W являются конечномерными гильбертовыми пространствами. потом

${\displaystyle \int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)}$

коммутирует со всеми операторами вида ${\displaystyle I_{V}\otimes S}$ и, следовательно, однозначно имеет вид ${\displaystyle R\otimes I_{W}}$. Оператор р частичный след Т.

Частичный след как квантовая операция

Частичный след можно рассматривать как квантовая операция. Рассмотрим квантово-механическую систему, пространство состояний которой является тензорным произведением ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$ гильбертовых пространств. Смешанное состояние описывается матрица плотности ρ, который является неотрицательным оператором следового класса следа 1 на тензорном произведении ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$Частичный след ρ относительно системы B, обозначаемый ${\displaystyle \rho ^{A}}$, называется приведенным состоянием ρ на системе А. В символах

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .}$

Чтобы показать, что это действительно разумный способ присвоить состояние А подсистемы к ρ, мы предлагаем следующее обоснование. Позволять M быть наблюдаемым в подсистеме А, то соответствующая наблюдаемая на составной системе есть ${\displaystyle M\otimes I}$. Однако каждый выбирает определение сокращенного состояния ${\displaystyle \rho ^{A}}$, должна быть согласованность статистики измерений. Ожидаемое значение M после подсистемы А готовится в ${\displaystyle \rho ^{A}}$ и что из ${\displaystyle M\otimes I}$ при приготовлении составной системы по ρ должно быть одинаковым, т.е. должно выполняться следующее равенство:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).}$

Мы видим, что это выполняется, если ${\displaystyle \rho ^{A}}$ определено выше посредством частичной трассировки. Кроме того, такая операция уникальна.

Позволять Т (В) быть Банахово пространство операторов следового класса в гильбертовом пространстве ЧАС. Легко проверить, что частичный след, рассматриваемый как карта

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})}$

полностью положительный и сохраняет след.

Частичное отображение следа, как указано выше, индуцирует двойное отображение ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$ между C * -алгебры ограниченных операторов на ${\displaystyle \;H_{A}}$ и ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$ данный

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$ отображает наблюдаемые в наблюдаемые и является Картинка Гейзенберга представление ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}}$.

Сравнение с классическим корпусом

Предположим, что вместо квантово-механических систем две системы А и B классические. Тогда пространства наблюдаемых для каждой системы являются абелевыми C * -алгебрами. Они имеют вид C(Икс) и C(Y) соответственно для компактных пространств Икс, Y. Пространство состояний составной системы просто

${\displaystyle C(X)\otimes C(Y)=C(X\times Y).}$

Состояние составной системы - это положительный элемент ρ двойственного к C (Икс × Y), что по Теорема Рисса-Маркова соответствует регулярной борелевской мере на Икс × Y. Соответствующее приведенное состояние получается проецированием меры ρ на Икс. Таким образом, частичный след является квантово-механическим эквивалентом этой операции.