Квантовая относительная энтропия - Quantum relative entropy

В квантовая теория информации, квантовая относительная энтропия это мера различимости двух квантовые состояния. Это квантово-механический аналог относительная энтропия.

Мотивация

Для простоты предполагается, что все объекты в изделии являются конечномерными.

Сначала обсудим классический случай. Предположим, что вероятности конечной последовательности событий задаются распределением вероятностей п = {п₁...п_п}, но почему-то мы ошибочно предположили, что это Q = {q₁...q_п}. Например, мы можем принять несправедливую монету за честную. Согласно этому ошибочному предположению, наша неуверенность в j-е событие или, что то же самое, количество информации, предоставленной после наблюдения j-е событие, это

${displaystyle ;-log q_{j}.}$

(Предполагаемая) средняя неопределенность всех возможных событий тогда равна

${displaystyle ;-sum _{j}p_{j}log q_{j}.}$

С другой стороны, Энтропия Шеннона распределения вероятностей п, определяется

${displaystyle ;-sum _{j}p_{j}log p_{j},}$

это реальная величина неопределенности до наблюдения. Следовательно, разница между этими двумя величинами

${displaystyle ;-sum _{j}p_{j}log q_{j}-left(-sum _{j}p_{j}log p_{j}ight)=sum _{j}p_{j}log p_{j}-sum _{j}p_{j}log q_{j}}$

является мерой различимости двух распределений вероятностей п и q. Это и есть классическая относительная энтропия, или Дивергенция Кульбака – Лейблера:

${displaystyle D_{mathrm {KL} }(P|Q)=sum _{j}p_{j}log {frac {p_{j}}{q_{j}}}!.}$

Примечание

1. В приведенных выше определениях предполагается, что 0 · log 0 = 0, поскольку lim_{Икс → 0} Икс бревноИкс = 0. Интуитивно можно было ожидать, что событие нулевая вероятность ничего не вносить в энтропию.
2. Относительная энтропия не является метрика. Например, он не симметричен. Несоответствие неопределенности при принятии справедливой монеты за несправедливость - не то же самое, что противоположная ситуация.

Определение

Как и во многих других объектах квантовой теории информации, квантовая относительная энтропия определяется путем расширения классического определения с вероятностных распределений на матрицы плотности. Позволять ρ - матрица плотности. В энтропия фон Неймана из ρ, которая является квантово-механическим аналогом энтропии Шеннона, определяется выражением

${displaystyle S(ho )=-operatorname {Tr} ho log ho .}$

Для двух матриц плотности ρ и σ, то квантовая относительная энтропия ρ относительно σ определяется

${displaystyle S(ho |sigma )=-operatorname {Tr} ho log sigma -S(ho )=operatorname {Tr} ho log ho -operatorname {Tr} ho log sigma =operatorname {Tr} ho (log ho -log sigma ).}$

Мы видим это, когда состояния связаны классически, т.е. ρσ = σρ, определение совпадает с классическим случаем.

Не конечная (расходящаяся) относительная энтропия

В целом поддержка матрицы M является ортогональным дополнением своего ядро, т.е. ${displaystyle { ext{supp}}(M)={ ext{ker}}(M)^{perp }}$. При рассмотрении квантовой относительной энтропии мы предполагаем, что -s · Log 0 = ∞ для любого s > 0. Это приводит к определению, что

${displaystyle S(ho |sigma )=infty }$

когда

${displaystyle { ext{supp}}(ho )cap { ext{ker}}(sigma )eq 0.}$

Это можно интерпретировать следующим образом. Неформально квантовая относительная энтропия - это мера нашей способности различать два квантовых состояния, где большие значения указывают на состояния, которые более разные. Ортогональность представляет собой самые разные квантовые состояния. Это отражается в не конечной квантовой относительной энтропии для ортогональных квантовых состояний. Следуя аргументам, приведенным в разделе «Мотивация», если мы ошибочно принимаем состояние ${displaystyle ho }$ имеет поддержку в ${displaystyle { ext{ker}}(sigma )}$, это ошибка, которую невозможно исправить.

Однако следует быть осторожным, чтобы не заключить, что расходимость квантовой относительной энтропии ${displaystyle S(ho |sigma )}$ означает, что состояния ${displaystyle ho }$ и ${displaystyle sigma }$ ортогональны или даже сильно отличаются по другим параметрам. В частности, ${displaystyle S(ho |sigma )}$ может расходиться, когда ${displaystyle ho }$ и ${displaystyle sigma }$ отличаться исчезающе маленькая сумма как измеряется какой-то нормой. Например, пусть ${displaystyle sigma }$ имеют диагональное представление

${displaystyle sigma =sum _{n}lambda _{n}|f_{n}angle langle f_{n}|}$

с ${displaystyle lambda _{n}>0}$ за ${displaystyle n=0,1,2,ldots }$ и ${displaystyle lambda _{n}=0}$ за ${displaystyle n=-1,-2,ldots }$ где ${displaystyle {|f_{n}angle ,nin mathbb {Z} }}$ - ортонормированное множество. Ядро ${displaystyle sigma }$ пространство, покрытое множеством ${displaystyle {|f_{n}angle ,n=-1,-2,ldots }}$. Далее пусть

${displaystyle ho =sigma +epsilon |f_{-1}angle langle f_{-1}|-epsilon |f_{1}angle langle f_{1}|}$

для небольшого положительного числа ${displaystyle epsilon }$. Так как ${displaystyle ho }$ имеет поддержку (а именно государство ${displaystyle |f_{-1}angle }$) в ядре ${displaystyle sigma }$, ${displaystyle S(ho |sigma )}$ расходится, несмотря на то, что норма следа разности ${displaystyle (ho -sigma )}$ является ${displaystyle 2epsilon }$ . Это означает, что разница между ${displaystyle ho }$ и ${displaystyle sigma }$ измеряемая нормой следа, исчезающе мала при ${displaystyle epsilon o 0}$ хотя ${displaystyle S(ho |sigma )}$ расходится (т.е. бесконечно). Это свойство квантовой относительной энтропии представляет собой серьезный недостаток, если с ним не обращаться осторожно.

Неотрицательность относительной энтропии

Соответствующее классическое утверждение

Для классического Дивергенция Кульбака – Лейблера, можно показать, что

${displaystyle D_{mathrm {KL} }(P|Q)=sum _{j}p_{j}log {frac {p_{j}}{q_{j}}}geq 0,}$

и равенство выполняется тогда и только тогда, когда п = Q. В просторечии это означает, что неопределенность, рассчитанная с использованием ошибочных предположений, всегда больше, чем реальная величина неопределенности.

Чтобы показать неравенство, перепишем

${displaystyle D_{mathrm {KL} }(P|Q)=sum _{j}p_{j}log {frac {p_{j}}{q_{j}}}=sum _{j}(-log {frac {q_{j}}{p_{j}}})(p_{j}).}$

Обратите внимание, что журнал вогнутая функция. Следовательно, -log - это выпуклый. Применение Неравенство Дженсена, мы получаем

${displaystyle D_{mathrm {KL} }(P|Q)=sum _{j}(-log {frac {q_{j}}{p_{j}}})(p_{j})geq -log(sum _{j}{frac {q_{j}}{p_{j}}}p_{j})=0.}$

Неравенство Дженсена также утверждает, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда для всех я, q_я = (∑q_j) п_я, т.е. п = q.

Результат

Неравенство Клейна утверждает, что квантовая относительная энтропия

${displaystyle S(ho |sigma )=operatorname {Tr} ho (log ho -log sigma ).}$

в целом неотрицательна. Он равен нулю тогда и только тогда, когда ρ = σ.

Доказательство

Позволять ρ и σ иметь спектральные разложения

${displaystyle ho =sum _{i}p_{i}v_{i}v_{i}^{*};,;sigma =sum _{i}q_{i}w_{i}w_{i}^{*}.}$sum_i; ,; сигма

Так

${displaystyle log ho =sum _{i}(log p_{i})v_{i}v_{i}^{*};,;log sigma =sum _{i}(log q_{i})w_{i}w_{i}^{*}.}$

Прямой расчет дает

${displaystyle S(ho |sigma )}$

${displaystyle =sum _{k}p_{k}log p_{k}-sum _{i,j}(p_{i}log q_{j})|v_{i}^{*}w_{j}|^{2}}$

${displaystyle =sum _{i}p_{i}(log p_{i}-sum _{j}log q_{j}|v_{i}^{*}w_{j}|^{2})}$

${displaystyle ;=sum _{i}p_{i}(log p_{i}-sum _{j}(log q_{j})P_{ij}),}$

где п_{я j} = |v_я* w_j|².

Поскольку матрица (п_{я j})_{я j} это дважды стохастическая матрица а log - выпуклая функция, приведенное выше выражение имеет вид

${displaystyle geq sum _{i}p_{i}(log p_{i}-log(sum _{j}q_{j}P_{ij})).}$

Определить р_я = ∑_jq_j п_{я j}. Потом {р_я} - это распределение вероятностей. Из неотрицательности классической относительной энтропии имеем

${displaystyle S(ho |sigma )geq sum _{i}p_{i}log {frac {p_{i}}{r_{i}}}geq 0.}$

Вторая часть утверждения следует из того, что, поскольку -log строго выпукло, равенство достигается в

${displaystyle sum _{i}p_{i}(log p_{i}-sum _{j}(log q_{j})P_{ij})geq sum _{i}p_{i}(log p_{i}-log(sum _{j}q_{j}P_{ij}))}$

если и только если (п_{я j}) это матрица перестановок, что означает ρ = σ, после подходящей разметки собственных векторов {v_я} и {ш_я}.

Совместная выпуклость относительной энтропии

Относительная энтропия равна совместно выпуклый. За ${displaystyle 0leq lambda leq 1}$ и заявляет ${displaystyle ho _{1(2)},sigma _{1(2)}}$ у нас есть

${displaystyle D(lambda ho _{1}+(1-lambda )ho _{2}|lambda sigma _{1}+(1-lambda )sigma _{2})leq lambda D(ho _{1}|sigma _{1})+(1-lambda )D(ho _{2}|sigma _{2})}$

Монотонность относительной энтропии

Относительная энтропия монотонно убывает при полностью положительный след сохраняющие (CPTP) операции ${displaystyle {mathcal {N}}}$ по матрицам плотности,

${displaystyle S({mathcal {N}}(ho )|{mathcal {N}}(sigma ))leq S(ho |sigma )}$.

Это неравенство называется Монотонность квантовой относительной энтропии.

Мера запутанности

Пусть составная квантовая система имеет пространство состояний

${displaystyle H=otimes _{k}H_{k}}$

и ρ матрица плотности, действующая на ЧАС.

В относительная энтропия запутанности из ρ определяется

${displaystyle ;D_{mathrm {REE} }(ho )=min _{sigma }S(ho |sigma )}$

где минимум берется по семейству разделимые состояния. Физическая интерпретация величины - это оптимальная различимость состояния ρ из разделимых состояний.

Ясно, когда ρ не является запутанный

${displaystyle ;D_{mathrm {REE} }(ho )=0}$

неравенством Клейна.

Связь с другими величинами квантовой информации

Одна из причин, по которой квантовая относительная энтропия полезна, состоит в том, что некоторые другие важные величины квантовой информации являются ее частными случаями. Часто теоремы формулируются в терминах квантовой относительной энтропии, что приводит к непосредственным следствиям, касающимся других величин. Ниже мы перечисляем некоторые из этих отношений.

Позволять ρ_AB быть совместным состоянием двудольной системы с подсистемой А измерения п_А и B измерения п_B. Позволять ρ_А, ρ_B - соответствующие приведенные состояния, а я_А, я_B соответствующие личности. В максимально смешанные состояния находятся я_А/п_А и я_B/п_B. Тогда с помощью прямого вычисления можно показать, что

${displaystyle S(ho _{A}||I_{A}/n_{A})=mathrm {log} (n_{A})-S(ho _{A}),;}$

${displaystyle S(ho _{AB}||ho _{A}otimes ho _{B})=S(ho _{A})+S(ho _{B})-S(ho _{AB})=I(A:B),}$

${displaystyle S(ho _{AB}||ho _{A}otimes I_{B}/n_{B})=mathrm {log} (n_{B})+S(ho _{A})-S(ho _{AB})=mathrm {log} (n_{B})-S(B|A),}$

где я(А:B) это квантовая взаимная информация и S(B|А) это квантовая условная энтропия.

Рекомендации

• Ведрал, В. (8 марта 2002 г.). «Роль относительной энтропии в квантовой теории информации». Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 74 (1): 197–234. arXiv:Quant-ph / 0102094. Bibcode:2002РвМП ... 74..197В. Дои:10.1103 / revmodphys.74.197. ISSN  0034-6861.
• Майкл А. Нильсен, Исаак Л. Чуанг, «Квантовые вычисления и квантовая информация»