Коэффициент Рачева - Rachev ratio

В Соотношение Рачева (или R-коэффициент) представляет собой показатель доходности инвестиционного актива, портфеля или стратегии. Он был разработан доктором Светлозар Рачев^[1] и был тщательно изучен в области количественных финансов. в отличие от вознаграждение к изменчивости отношения, такие как Коэффициент Шарпа и Коэффициент Сортино, коэффициент Рачева равен вознаграждение к риску соотношение, которое предназначено для измерения потенциала вознаграждения правого хвоста относительно левого хвостовой риск в негауссовской обстановке.^[2][3][4] Интуитивно он представляет собой потенциал чрезвычайно положительной доходности по сравнению с риском экстремальных потерь (отрицательной доходности) при частоте редкости q (квантильный уровень), определяемой пользователем.^[5]

Отношение определяется как ожидаемая хвостовая доходность (ETR) в лучших случаях q%, деленная на Ожидаемая потеря хвоста (ETL) в q% худших случаях. В ETL это средний убыток, понесенный, когда убытки превышают Стоимость под риском на заранее определенном квантильном уровне. ETR, определяемый симметрией ETL, представляет собой среднюю прибыль, получаемую, когда прибыль превышает Прибыль под угрозой на заранее определенном квантильном уровне.

Для более специализированных приложений было определено обобщенное отношение Рачева с разными степенями и / или разными уровнями достоверности ETR и ETL.^[1]

Определение

Согласно первоначальной версии, представленной авторами в 2004 году, коэффициент Рачева определяется как:

${\displaystyle \rho \left({x'r}\right)={\frac {CVa{R_{(1-\alpha )}}\left({{r_{f}}-x'r}\right)}{CVa{R_{(1-\beta )}}\left({x'r-{r_{f}}}\right)}}}$

или, альтернативно,

${\displaystyle \rho \left({x'r}\right)={\frac {ET{L_{\alpha }}\left({{r_{f}}-x'r}\right)}{ET{L_{\beta }}\left({x'r-{r_{f}}}\right)}},}$

где ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ принадлежит ${\displaystyle \left({0,1}\right)}$, а в симметричном случае: ${\displaystyle \alpha =\beta }$. ${\displaystyle r_{f}}$ безрисковая норма прибыли и ${\displaystyle x'r}$ представляет доходность портфеля. В ETL ожидаемая потеря хвоста, также известная как условная величина риска (CVaR ), определяется как:

${\displaystyle ET{L_{\alpha }}={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{Va{R_{q}}\left(X\right)dq},}$

и

${\displaystyle Va{R_{\alpha }}=-F_{X}^{-1}\left(\alpha \right)=-\inf \left\{{x\left|P{\left({X\leq x}\right)>\alpha }\right.}\right\}}$

это стоимость под риском (VaR) случайного возврата ${\displaystyle X}$.

Таким образом, ETL можно интерпретировать как средний убыток сверх VaR:

${\displaystyle ET{L_{\alpha }}\left(X\right)=E\left[{L|L>Va{R_{_{\alpha }}}}\right]}$.

Обобщенный коэффициент Рачева - это отношение между мощностью CVaR противоположной избыточной доходности на данном уровне достоверности и мощностью CVaR избыточной прибыли на другом уровне достоверности. Это,

${\displaystyle \rho \left({x'r}\right)={\frac {ET{L_{\left({\gamma ,\alpha }\right)}}\left({{r_{f}}-x'r}\right)}{ET{L_{\left({\delta ,\beta }\right)}}\left({x'r-{r_{f}}}\right)}},}$

где ${\displaystyle ET{L_{\left({\gamma ,\alpha }\right)}}\left(X\right)=E\left[{{\rm {max}}{{\left({L,0}\right)}^{\gamma }}|L>Va{R_{_{\alpha }}}}\right]}$ мощность CVaR ${\displaystyle X}$, и ${\displaystyle \gamma }$ положительная константа. Основное преимущество обобщенного коэффициента Рачева перед традиционным коэффициентом Рачева обеспечивается степенными индексами. ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle \delta }$ которые характеризуют нежелание инвестора рисковать.

Свойства

Коэффициент Рачева можно использовать как в ex-ante и постфактум анализы.

5% ETL и 5% ETR негауссовского распределения доходности. Хотя наиболее вероятная доходность является положительной, коэффициент Рачева составляет 0,7 <1, что означает, что избыточный убыток не уравновешивается избыточной прибылью от инвестиций.

в постфактум В ходе анализа коэффициент Рачева вычисляется путем деления соответствующих двух выборочных AVaR. Поскольку уровни эффективности в соотношении Рачева являются квантилями распределения активной доходности, они являются относительными уровнями, поскольку они регулируются в соответствии с распределением. Например, если масштаб небольшой, то два уровня производительности будут ближе друг к другу. Как следствие, соотношение Рачева всегда четко определено.

в ex-ante Анализ, задачи оптимального портфеля, основанные на коэффициенте Рачева, как правило, трудно решить численно, потому что коэффициент Рачева представляет собой долю двух CVaR, которые являются выпуклыми функциями весов портфеля. Фактически, коэффициент Рачева, если рассматривать его как функцию весов портфеля, может иметь множество локальных экстремумов.^[6]

Было предложено несколько эмпирических тестов отношения Рачева и обобщенного отношения Рачева.^[4][7]

Алгоритм решения задачи оптимизации отношения Рачева был представлен в Конно, Танака и Ямамото (2011). ^[8]

пример

В количественном финансировании распространено негауссовское распределение доходности. Коэффициент Рачева, как показатель эффективности с поправкой на риск, характеризует асимметрию и эксцесс распределения доходности (см. Рисунок справа).

Смотрите также

• Постмодернистская теория портфолио
• Коэффициент увеличения потенциала
• Коэффициент Шарпа
• Коэффициент Сортино
• Соотношение Омега
• Современная теория портфеля

использованная литература

1. Биглова, Альмира; Ортобелли, Серджио; Рачев, Светлозар Т .; Стоянов, Стоян. «Различные подходы к оценке риска в теории портфеля». Журнал управления портфелем, осень 2004 г., Vol. 31, No. 1: pp. 103-112.
2. Фер, Бен. "За пределами нормального распределения" (PDF). Frankfurter Allgemeine Zeitung. Архивировано из оригинал (PDF) 1 сентября 2006 г.. Получено 16 марта 2006.
3. Cheridito, P .; Кромер, Э. (2013). «Соотношение вознаграждения и риска». Журнал инвестиционных стратегий. 3 (1): 1–16.
4. Farinelli, S .; Ferreira, M .; Росселло, Д .; Thoeny, M .; Тибилетти, Л. (2008). «Помимо коэффициента Шарпа: оптимальное распределение активов с использованием различных коэффициентов производительности». Журнал "Банковское дело и финансы". 32 (10): 2057–2063. Дои:10.1016 / j.jbankfin.2007.12.026.
5. https://statistik.econ.kit.edu/download/doc_secure1/10_StochModels.pdf
6. Рачев, Светлозар Т .; Стоянов, Стоян В .; Фабоцци, Фрэнк Дж. (2008). Расширенные стохастические модели, оценка рисков и оптимизация портфеля (1-е изд.). Вайли. ISBN  978-0-470-05316-4.
7. Сатчелл, Стивен (22 октября 2009 г.). Оптимизирующая оптимизация: новое поколение приложений и теории оптимизации (1-е изд.). Академическая пресса. ISBN  9780750633611.
8. Конно, Хироши; Танака, Кацухиро; Ямамото, Рей (2011). «Построение портфеля с более коротким нижним хвостом и более длинным верхним хвостом». Вычислительная оптимизация и приложения. 48: 199. Дои:10.1007 / s10589-009-9255-4.