Радиальная траектория - Radial trajectory

В астродинамика и небесная механика а радиальная траектория это Орбита Кеплера с нуля угловой момент. Два объекта по радиальной траектории движутся прямо навстречу друг другу или от них по прямой.

Классификация

Есть три типа радиальных траекторий (орбит).^[1]

• Радиальная эллиптическая траектория: орбита, соответствующая части вырожденного эллипса с момента, когда тела касаются друг друга и удаляются друг от друга, пока они снова не коснутся друг друга. Относительная скорость двух объектов меньше, чем космическая скорость. Это эллиптическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита. Если коэффициент реституции двух тел - 1 (идеально упругая), эта орбита периодическая. Если коэффициент восстановления меньше 1 (неупругий), эта орбита непериодическая.
• Радиальная параболическая траектория, непериодическая орбита, где относительная скорость двух объектов всегда равна космической скорости. Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу.
• Радиальная гиперболическая траектория: непериодическая орбита, где относительная скорость двух объектов всегда превышает скорость убегания. Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу. Это гиперболическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита.

В отличие от стандартных орбит, которые классифицируются по их орбитальный эксцентриситет, радиальные орбиты классифицируются по их удельная орбитальная энергия, постоянная сумма полной кинетической и потенциальной энергии, деленная на уменьшенная масса:

${\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}}$

куда Икс расстояние между центрами масс, v - относительная скорость, а ${\displaystyle \mu ={G}\left(m_{1}+m_{2}\right)}$ это стандартный гравитационный параметр.

Другая константа определяется выражением:

${\displaystyle w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\epsilon }{\mu }}}$

• Для эллиптических траекторий w положительно. Это обратное расстояние апоапсиса (максимальное расстояние).
• Для параболических траекторий w равно нулю.
• Для гиперболических траекторий w отрицательно, это ${\displaystyle \textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}}$ куда ${\displaystyle \textstyle v_{\infty }}$ - скорость на бесконечном расстоянии.

Время как функция от расстояния

Учитывая разделение и скорость в любой момент, а также общую массу, можно определить положение в любое другое время.

Первый шаг - определить постоянную w. Используйте знак w, чтобы определить тип орбиты.

${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}}$

куда ${\displaystyle \textstyle x_{0}}$ и ${\displaystyle \textstyle v_{0}}$ - расстояние и относительная скорость в любой момент времени.

Параболическая траектория

${\displaystyle t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}}$

куда т - время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, и Икс это разделение.

Это уравнение применимо только к радиальным параболическим траекториям, для общих параболических траекторий см. Уравнение Баркера.

Эллиптическая траектория

${\displaystyle t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}}$

куда т - время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, и Икс это разделение.

Это радиальное уравнение Кеплера.^[2]

Смотрите также уравнения для падающего тела.

Гиперболическая траектория

${\displaystyle t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}}$

куда т - время от или до момента, когда две массы, если бы они были точечными массами, совпали бы, и Икс это разделение.

Универсальная форма (любая траектория)

Радиальное уравнение Кеплера можно сделать «универсальным» (применимым ко всем траекториям):

${\displaystyle t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}}$

или путем расширения в степенной ряд:

${\displaystyle t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}}$

Радиальная задача Кеплера (расстояние как функция времени)

Проблема обнаружения разделения двух тел в данный момент времени, учитывая их разделение и скорость в другое время, известна как Проблема Кеплера. В этом разделе решается проблема Кеплера для радиальных орбит.

Первый шаг - определить постоянную w. Используйте знак w, чтобы определить тип орбиты.

${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}}$

Где ${\displaystyle \textstyle x_{0}}$ и ${\displaystyle \textstyle v_{0}}$ разделение и скорость в любой момент.

Параболическая траектория

${\displaystyle x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Смотрите также положение как функция времени на прямой орбите ухода.

Универсальная форма (любая траектория)

Используются две промежуточные величины: w и расстояние между телами в момент времени t, если бы они находились на параболической траектории, p.

${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{and}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}}$

Где t время, ${\displaystyle x_{0}}$ - начальная позиция, ${\displaystyle v_{0}}$ - начальная скорость, а ${\displaystyle \mu ={G}\left(m_{1}+m_{2}\right)}$.

В обратное радиальное уравнение Кеплера является решением радиальной задачи Кеплера:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {r-r^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)}$

Оценка этого дает:

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3931875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots }$

Силовые ряды легко дифференцировать по срокам. Повторное дифференцирование дает формулы для скорости, ускорения, рывка, рывка и т. Д.

Орбита внутри радиального вала

Орбита внутри радиального вала в однородном сферическом теле^[3] будет простые гармонические колебания, потому что сила тяжести внутри такого тела пропорциональна расстоянию до центра. Если маленькое тело входит и / или выходит из большого тела на его поверхности, орбита меняется с или на одну из обсуждаемых выше. Например, если вал проходит от поверхности к поверхности, возможна замкнутая орбита, состоящая из частей двух циклов простого гармонического движения и частей двух различных (но симметричных) радиально-эллиптических орбит.

Смотрите также

• Уравнение Кеплера
• Проблема Кеплера
• Список орбит

Рекомендации

• Коуэлл, Питер (1993), Решение уравнения Кеплера на протяжении трех столетий, Уильям Белл.

1. Томсон, Уильям Тиррелл; Введение в космическую динамику, Дувр, 1986
2. Браун, Кевин; MathPages
3. Строго противоречие. Однако предполагается, что вал оказывает незначительное влияние на силу тяжести.

внешняя ссылка

• Уравнение Кеплера в Mathworld [1]