Радиодром - Radiodrome

В геометрия, а радиодром это кривая преследования за которой следует точка, которая преследует другую точку, движущуюся линейно. Термин происходит от Греческий слова ῥᾴδιος, rhāidios, "проще" и δρόμος, Drómos, 'Бег'. Классическая (и наиболее известная) форма радиодрома известна как «собачья кривая»; это путь, по которому собака следует, когда она переплывает ручей с течением после чего-то, что она заметила на другой стороне. Поскольку собака плывет по течению, ей придется изменить курс; ему также придется плыть дальше, чем если бы он взял оптимальный курс. Этот случай описал Пьер Бугер в 1732 г.

В качестве альтернативы радиодром можно описать как путь, по которому собака следует, преследуя зайца, при условии, что заяц бежит по прямой с постоянной скоростью.

Путь собаки, преследующей зайца, бежит по вертикальной прямой с постоянной скоростью. Собака бежит к зайцу, на которое на мгновение попадает, и постоянно меняет направление движения.

Математический анализ

Введем систему координат с началом в позиции собаки в нулевое время и с уось в направлении бега зайца с постоянной скоростью ${ displaystyle V_ {t}}$ . Положение зайца в нулевой момент времени равно $(А Икс, А у)$ с $А Икс > 0$ и в свое время $т$ это

{ Displaystyle (T_ {x} , T_ {y}) = (A_ {x} , A_ {y} + V_ {t} t)}

(1)

Собака бежит с постоянной скоростью ${ displaystyle V_ {d}}$ к мгновенному положению зайца.

Дифференциальное уравнение, соответствующее движению собаки, $(Икс (т), у (т))$ , следовательно

{ displaystyle { dot {x}} = V_ {d} { frac {T_ {x} -x} { sqrt {(T_ {x} -x) ^ {2} + (T_ {y} - y) ^ {2}}}}}

(2)

{ displaystyle { dot {y}} = V_ {d} { frac {T_ {y} -y} { sqrt {(T_ {x} -x) ^ {2} + (T_ {y} - y) ^ {2}}}}}

(3)

Можно получить аналитическое выражение в замкнутой форме $у = ж (Икс)$ для движения собаки, От (2) и (3) следует, что

{ displaystyle y '(x) = { frac {T_ {y} -y} {T_ {x} -x}}}

(4)

Умножая обе стороны на ${ displaystyle T_ {x} -x}$ и взяв производную по $Икс$ используя это

{ displaystyle { frac {dT_ {y}} {dx}} = { frac {dT_ {y}} {dt}} { frac {dt} {dx}} = { frac { V_ {t}} {V_ {d}}} { sqrt {{y '} ^ {2} +1}}}

(5)

один получает

{ displaystyle y '' = { frac {V_ {t} { sqrt {1+ {y '} ^ {2}}}} {V_ {d} (A_ {x} -x)}}}

(6)

или же

{ displaystyle { frac {y ''} { sqrt {1+ {y '} ^ {2}}}} = { frac {V_ {t}} {V_ {d} (A_ {x} -x )}}}

(7)

Из этого соотношения следует, что

{ displaystyle sinh ^ {- 1} (y ') = B - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}} ln (A_ {x} -x)}

(8)

куда $B$ - постоянная интегрирования, определяемая начальным значением $у$ 'в нулевое время, $y ' (0) = sh (B - (V т / V d) ln А Икс)$ , т.е.

{ displaystyle B = { frac {V_ {t}} {V_ {d}}} ln (A_ {x}) + ln left (y '(0) + { sqrt {{y' ( 0)} ^ {2} +1}} right)}

(9)

Из (8) и (9) после некоторых вычислений следует, что

{ displaystyle y '= { frac {1} {2}} left [ left (y' (0) + { sqrt {{y '(0)} ^ {2} +1}} right) left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {- { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} + left (y '(0) - { sqrt {{y '(0)} ^ {2} +1}} right) left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ { frac {V_ {t}} {V_ {d}}} right]}

(10)

Кроме того, поскольку $у (0)=0$ , следует из (1) и (4) который

{ displaystyle y '(0) = { frac {A_ {y}} {A_ {x}}}}

(11)

Если бы сейчас $V т \neq V d$ , отношение (10) интегрируется в

{ displaystyle y = C - { frac {A_ {x}} {2}} left [{ frac { left (y '(0) + { sqrt {{y' (0)} ^ {2 } +1}} right) left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} } {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} + { frac { left (y '(0) - { sqrt {{y' (0)} ^ {2 } +1}} right) left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} } {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} right]}

(12)

куда $C$ - постоянная интегрирования. Снова $у (0)=0$ , это

{ displaystyle C = { frac {A_ {x}} {2}} left [{ frac {y '(0) + { sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1}}) } {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} + { frac {y '(0) - { sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1 }}} {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} right]}

(13)

Уравнения (11), (12) и (13) тогда вместе подразумевают

{ displaystyle y = { frac {1} {2}} left {{ frac {A_ {y} + { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}) }} {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} left [1- left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} right] + { frac {A_ {y} - { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}}} {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} left [1- left (1 - { frac {x} {A_ {x}}) } right) ^ {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} right] right }}

(14)

Если $V т = V d$ , отношение (10) дает вместо

{ displaystyle y = C - { frac {A_ {x}} {2}} left [ left (y '(0) + { sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1}) } right) ln left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) + { frac {1} {2}} left (y '(0) - { sqrt {{y '(0)} ^ {2} +1}} right) left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {2} right]}

(15)

С помощью $у (0)=0$ еще раз, следует

{ displaystyle C = { frac {A_ {x}} {4}} left (y '(0) - { sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1}} right)}

(16)

Уравнения (11), (15) и (16) тогда вместе подразумевают

{ displaystyle y = { frac {1} {4}} left (A_ {y} - { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}} right) left [1- left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {2} right] - { frac {1} {2}} left (A_ {y} + { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}} right) ln left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) }

(17)

Если $V т d$ , следует из (14) который

{ displaystyle lim _ {x to A_ {x}} y (x) = { frac {1} {2}} left ({ frac {A_ {y} + { sqrt {A_ {x}) ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}}} {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} + { frac {A_ {y} - { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}}} {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} right)}

(18)

Если $V т \geq V d$ , есть от (14) и (17) который ${ displaystyle lim _ {x to A_ {x}} y (x) = infty}$ , что означает, что заяц никогда не будет пойман, когда бы ни началась погоня.

Смотрите также

Проблема с мышами

Радиодром - Radiodrome

Математический анализ

Смотрите также

Рекомендации