Модель случайной энергии - Random energy model

в статистическая физика из неупорядоченные системы, то модель случайной энергии это игрушечная модель системы с подавленный беспорядок, например спин-стекло, имеющий первый порядок фаза перехода.^[1][2] Это касается статистики сбора ${displaystyle N}$ спины (т.е. степени свободы ${displaystyle {S_{i}mid i=1,...,N}}$ который может принимать одно из двух возможных значений ${displaystyle S_{i}=pm 1}$), так что количество возможных состояний системы равно ${displaystyle 2^{N}}$. Энергии таких состояний равны независимые и одинаково распределенные Гауссовский случайные переменные ${displaystyle E_{x}sim {mathcal {N}}(0,N/2)}$ с нулевым средним и дисперсией ${displaystyle N/2}$. Многие свойства этой модели можно точно вычислить. Простота делает эту модель подходящей для педагогического внедрения таких понятий, как подавленный беспорядок и реплика симметрии.

Сравнение с другими неупорядоченными системами

В ${displaystyle r}$-вращение Модель с бесконечным диапазоном, в котором все ${displaystyle r}$-спиновые множества взаимодействуют со случайной, независимой, одинаково распределенной константой взаимодействия, становится моделью случайной энергии в подходящем определении ${displaystyle r o infty }$ предел.^[3]

Точнее, если гамильтониан модели определяется формулой

${displaystyle H(sigma )=sum _{{i_{1},ldots ,i_{r}}}J_{i_{1},ldots i_{r}}sigma _{i_{1}}cdots sigma _{i_{r}},}$

где сумма пробегает все ${displaystyle {N choose r}}$ различные наборы ${displaystyle r}$ индексы, и для каждого такого набора ${displaystyle {i_{1},ldots ,i_{r}}}$, ${displaystyle J_{i_{1},ldots ,i_{r}}}$ является независимой гауссовой переменной со средним 0 и дисперсией ${displaystyle J^{2}r!/(2N^{r-1})}$, модель случайной энергии восстанавливается в ${displaystyle r o infty }$ предел.

Вывод термодинамических величин

Как следует из названия, в REM каждое микроскопическое состояние имеет независимое распределение энергии. Для конкретной реализации беспорядка, ${displaystyle P(E)=delta (E-H(sigma ))}$ куда ${displaystyle sigma =(sigma _{i})}$ относится к индивидуальным конфигурациям спинов, описываемым состоянием и ${displaystyle H(sigma )}$ это энергия, связанная с ним. Окончательные экстенсивные переменные, такие как свободная энергия, необходимо усреднить по всем реализациям беспорядка, как и в случае Эдвардс Андерсон модель. Усреднение ${displaystyle P(E)}$ по всем возможным реализациям, мы находим, что вероятность того, что данная конфигурация неупорядоченной системы имеет энергию, равную ${displaystyle E}$ дан кем-то

${displaystyle [P(E)]={sqrt {frac {1}{Npi J^{2}}}}exp left(-{dfrac {E^{2}}{J^{2}N}}ight),}$

куда ${displaystyle [cdots ]}$ обозначает среднее значение по всем реализациям беспорядка. Более того, совместное распределение вероятностей значений энергии двух различных микроскопических конфигураций спинов, ${displaystyle sigma }$ и ${displaystyle sigma '}$ факторизует:

${displaystyle [P(E,E')]=[P(E)],[P(E')].}$

Можно видеть, что вероятность данной спиновой конфигурации зависит только от энергии этого состояния, а не от индивидуальной спиновой конфигурации.^[4]

Энтропия REM определяется выражением^[5]

${displaystyle S(E)=Nleft[log 2-left({frac {E}{NJ}}ight)^{2}ight]}$

за ${displaystyle |E|<NJ{sqrt {log 2}}}$. Однако это выражение справедливо, только если энтропия на спин ${displaystyle lim _{N o infty }S(E)/N}$ конечно, т.е. когда ${displaystyle |E|<-NJ{sqrt {log 2}}.}$ С ${displaystyle (1/T)=partial S/partial E}$, это соответствует ${displaystyle T>T_{c}=1/(2{sqrt {log 2}})}$. За ${displaystyle T<T_{c}}$, система остается «замороженной» в небольшом количестве конфигураций энергии ${displaystyle Esimeq -NJ{sqrt {log 2}}}$ а энтропия на спин обращается в нуль в термодинамическом пределе.

Рекомендации

1. Марк Мезар, Андреа Монтанари, Глава 5, Модель случайной энергии, Информация, физика, вычисления, (2009) Издательство Оксфордского университета.
2. Мишель Талагранд, Спин-очки: вызов математикам (2003) Спрингер ISBN  978-3-540-00356-4
3. Деррида, Бернард (14 июля 1980 г.). «Модель случайной энергии: предел семейства неупорядоченных моделей». Письма с физическим обзором. 45 (2): 79–82. Bibcode:1980ПхРвЛ..45 ... 79Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.45.79.
4. Нисимори, Хидетоши (2001). Статистическая физика спиновых стекол и обработка информации: введение (PDF). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 243. ISBN  9780198509400.
5. Деррида, Бернард (1 сентября 1981). «Модель случайной энергии: точно решаемая модель неупорядоченных систем». Физический обзор B. Phys. Преподобный Б. 24 (5): 2613–2626. Bibcode:1981ПхРвБ..24.2613Д. Дои:10.1103 / PhysRevB.24.2613.