Условия Ренкина – Гюгонио - Rankine–Hugoniot conditions

Принципиальная схема ударно-волновой ситуации с плотностью ${\displaystyle \rho }$, скорость ${\displaystyle u}$, и температура ${\displaystyle T}$ указано для каждого региона.

В Условия Ренкина – Гюгонио, также называемый Условия прыжка Ренкина – Гюгонио или Отношения Ренкина – Гюгонио, описывают отношения между состояниями по обе стороны ударная волна или волна горения (дефлаграция или детонация ) при одномерном течении жидкости или одномерной деформации твердых тел. Они названы в честь работы, проделанной шотландским инженером и физиком. Уильям Джон Маккорн Ренкин^[1] и французский инженер Пьер Анри Гюгонио.^[2][3]

В системе координат, движущейся с разрывом, условия Ренкина – Гюгонио могут быть выражены как:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{1}\,u_{1}&=\rho _{2}\,u_{2}\equiv m&&{\text{Conservation of mass}}\\\rho _{1}\,u_{1}^{2}+p_{1}&=\rho _{2}\,u_{2}^{2}+p_{2}&&{\text{Conservation of momentum}}\\h_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}&=h_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}&&{\text{Conservation of energy}}\end{aligned}}}$

где м - массовый расход на единицу площади, ρ₁ и ρ₂ являются плотность вещества жидкости до и после волны, ты₁ и ты₂ - скорость жидкости до и после волны, п₁ и п₂ - давления в двух областях, и час₁ и час₂ являются конкретный (с чувством на единицу массы) энтальпии в двух регионах. Если, кроме того, поток является реактивным, то уравнения сохранения видов требуют, чтобы

${\displaystyle \omega _{i,1}=\omega _{i,2}=0,\quad i=1,2,3,...N,\qquad {\text{Conservation of species}}}$

чтобы исчезнуть как перед разрывом, так и после него. Вот, ${\displaystyle \omega }$ скорость массового производства яй вид всего N виды, участвующие в реакции. Сочетание сохранения массы и импульса дает нам

${\displaystyle {\frac {p_{2}-p_{1}}{1/\rho _{2}-1/\rho _{1}}}=-m^{2}}$

который определяет прямую линию, известную как линия Рэлея, названная в честь Лорд Рэйли, имеющая отрицательный наклон (поскольку ${\displaystyle m^{2}}$ всегда положительный) в ${\displaystyle p-\rho ^{-1}}$ самолет. Используя уравнения Ренкина – Гюгонио для сохранения массы и количества движения, чтобы исключить ты₁ и ты₂, уравнение сохранения энергии можно представить в виде уравнения Гюгонио:

${\displaystyle h_{2}-h_{1}={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)\,(p_{2}-p_{1}).}$

Обратное значение плотности также можно выразить как удельный объем, ${\displaystyle v=1/\rho }$. Наряду с этим, необходимо указать соотношение между уравнениями состояния до и после

${\displaystyle f(p_{1},\rho _{1},T_{1},Y_{i,1})=f(p_{2},\rho _{2},T_{2},Y_{i,2})}$

где ${\displaystyle Y_{i}}$ это массовая доля вида. Наконец, теплотворное уравнение состояния ${\displaystyle h=h(p,\rho ,Y_{i})}$ считается известным, т. е.

${\displaystyle h(p_{1},\rho _{1},Y_{i,1})=h(p_{2},\rho _{2},Y_{i,2}).}$

Упрощенные отношения Ренкина – Гюгонио^[5]

Следующие предположения сделаны для упрощения уравнений Ренкина – Гюгонио. Предполагается, что смесь подчиняется закон идеального газа, так что связь между уравнениями состояния ниже и выше по потоку может быть записана как

${\displaystyle {\frac {p_{2}}{\rho _{2}T_{2}}}={\frac {p_{1}}{\rho _{1}T_{1}}}={\frac {R}{\overline {W}}}}$

где ${\displaystyle R}$ это универсальная газовая постоянная и среднее молекулярный вес ${\displaystyle {\overline {W}}}$ предполагается постоянным (в противном случае ${\displaystyle {\overline {W}}}$ будет зависеть от массовой доли всех видов). Если предположить, что удельная теплоемкость при постоянном давлении ${\displaystyle c_{p}}$ также постоянна по длине волны, изменение энтальпий (теплотворное уравнение состояния) можно просто записать как

${\displaystyle h_{2}-h_{1}=-q+c_{p}(T_{2}-T_{1})}$

где первый член в приведенном выше выражении представляет количество тепла, выделяемого волной на единицу массы смеси, находящейся выше по потоку, а второй член представляет собой ощутимый нагрев. Исключив температуру с помощью уравнения состояния и подставив приведенное выше выражение для изменения энтальпий в уравнение Гюгонио, мы получим уравнение Гюгонио, выраженное только в терминах давления и плотности,

${\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right)\left({\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}-{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\rho _{2}}}+{\frac {1}{\rho _{1}}}\right)(p_{2}-p_{1})=q,}$

где ${\displaystyle \gamma }$ это коэффициент удельной теплоемкости. Кривая Гюгонио без тепловыделения (${\displaystyle q=0}$) часто называют шоковым гюгонио. Наряду с уравнением линии Рэлея это уравнение полностью определяет состояние системы. Эти два уравнения можно записать компактно, введя следующие безразмерные масштабы:

${\displaystyle {\tilde {p}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}},\quad {\tilde {v}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}},\quad \alpha ={\frac {q\rho _{1}}{p_{1}}},\quad \mu ={\frac {m^{2}}{p_{1}\rho _{1}}}.}$

Уравнение линии Рэлея и уравнение Гюгонио затем упрощается до

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\tilde {p}}-1}{{\tilde {v}}-1}}&=-\mu \\{\tilde {p}}&={\frac {[2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)]-{\tilde {v}}}{[(\gamma +1)/(\gamma -1)]{\tilde {v}}-1}}.\end{aligned}}}$

Учитывая условия восходящего потока, пересечение двух приведенных выше уравнений в ${\displaystyle {\tilde {p}}-{\tilde {v}}}$ самолет определяет условия ниже по потоку. Если тепловыделения не происходит, например, ударные волны без химической реакции, то ${\displaystyle \alpha =0}$. Кривые Гюгонио асимптоты к прямым ${\displaystyle {\tilde {v}}=(\gamma -1)/(\gamma +1)}$ и ${\displaystyle {\tilde {p}}=-(\gamma -1)/(\gamma +1)}$, т.е. скачок давления на волне может принимать любые значения между ${\displaystyle 0\leq {\tilde {p}}<\infty }$, но удельный объемный коэффициент ограничен интервалом ${\displaystyle (\gamma -1)/(\gamma +1)\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +(\gamma +1)/(\gamma -1)}$ (оценка сверху выведена для случая ${\displaystyle {\tilde {p}}\rightarrow 0}$ потому что давление не может принимать отрицательные значения). В Условие Чепмена – Жуге где линия Рэлея касается кривой Гюгонио.

Если ${\displaystyle \gamma =1.4}$ (двухатомный газ без возбуждения колебательной моды) интервал равен ${\displaystyle 1/6\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +6}$другими словами, ударная волна может увеличить плотность не более чем в 6 раз. Для одноатомного газа ${\displaystyle \gamma =5/3}$, поэтому соотношение плотностей ограничено интервалом ${\displaystyle 1/4\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +4}$. Для двухатомных газов с возбужденной колебательной модой имеем ${\displaystyle \gamma =9/7}$ ведущий к интервалу ${\displaystyle 1/8\leq {\tilde {v}}\leq 2\alpha +8}$. На самом деле отношение теплоемкости не является постоянным в ударной волне из-за диссоциации и ионизации молекул, но даже в этих случаях отношение плотностей в целом не превышает коэффициент ${\displaystyle 11-13}$.^[6]

Вывод из уравнений Эйлера

Рассмотрим газ в одномерном контейнере (например, в длинной тонкой трубке). Предположим, что жидкость невязкий (т. е. не проявляет эффектов вязкости, таких как, например, трение о стенки трубы). Кроме того, предположим, что нет теплопередачи за счет теплопроводности или излучения и что гравитационным ускорением можно пренебречь. Такую систему можно описать следующей системой законы сохранения, известный как 1D Уравнения Эйлера, что в консервационной форме:

${\displaystyle (\;1)\quad \quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;\;=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u\right)}$

${\displaystyle (\;2)\quad \quad {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho u)\,=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho u^{2}+p\right)}$

${\displaystyle (\;3)\quad \quad {\frac {\partial }{\partial t}}\left(E^{t}\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[u\left(E^{t}+p\right)\right],}$

где

${\displaystyle \rho ,\,}$ жидкость плотность вещества,

${\displaystyle u,\,}$ жидкость скорость,

${\displaystyle e,\,}$ конкретный внутренняя энергия жидкости,

${\displaystyle p,\,}$ жидкость давление, и

${\displaystyle E^{t}=\rho e+\rho {\frac {1}{2}}u^{2},\,}$ - полная плотность энергии жидкости, [Дж / м³], пока е его удельная внутренняя энергия

Предположим далее, что газ калорически идеален и, следовательно, политропный уравнение состояния простой формы

${\displaystyle (\;4)\quad \quad p=\left(\gamma -1\right)\rho e,}$

действительно, где ${\displaystyle \gamma }$ постоянное соотношение теплоемкостей ${\displaystyle c_{p}/c_{v}}$. Эта величина также отображается как показатель политропы политропного процесса, описываемого

${\displaystyle (\;5)\quad \quad {\frac {p}{\rho ^{\gamma }}}={\text{constant}}.}$

Полный список уравнений сжимаемого потока и т. Д. См. В NACA Отчет 1135 (1953).^[7]

Примечание: для идеального с точки зрения калорийности газа ${\displaystyle \gamma \,}$ является константой и для термически идеального газа ${\displaystyle \gamma \,}$ является функцией температуры. В последнем случае зависимость давления от плотности массы и внутренней энергии может отличаться от той, которая дается уравнением (4).

Условие перехода

Прежде чем продолжить, необходимо ввести понятие условие прыжка - состояние, которое сохраняется при прерывистом или резком изменении.

Рассмотрим одномерную ситуацию, когда происходит скачок скалярной сохраняющейся физической величины ${\displaystyle w}$, который подчиняется интегральному закону сохранения

${\displaystyle (\;6)\quad \quad {\frac {d}{dt}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}w\,dx=-\left.f\left(w\right)\right|_{x_{1}}^{x_{2}}}$

для любого ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$, и, следовательно, уравнением в частных производных

${\displaystyle (\;6')\quad \quad {\frac {\partial w}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)=0}$

для плавных решений.^[8]

Пусть решение имеет скачок (или удар) при ${\displaystyle x=x_{s}(t)}$, где ${\displaystyle x_{1}<x_{s}(t)}$ и ${\displaystyle x_{s}(t)<x_{2}}$, тогда

${\displaystyle (\;7)\quad \quad {\frac {d}{dt}}\left[\left(\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w\,dx\right)\right]=-\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}f\left(w\right)\,dx}$

${\displaystyle (\;8)\quad \quad \therefore w_{1}{\frac {dx_{s}}{dt}}-w_{2}{\frac {dx_{s}}{dt}}+\int _{x_{1}}^{x_{s}(t)}w_{t}\,dx+\int _{x_{s}(t)}^{x_{2}}w_{t}\,dx=-\left.f\left(w\right)\right|_{x_{1}}^{x_{2}}}$

Индексы 1 и 2 указать условия только вверх по течению и только ниже по течению скачка соответственно, т.е. ${\displaystyle w_{1}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}w\left(x_{s}-\epsilon \right)}$ и ${\displaystyle w_{2}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}w\left(x_{s}+\epsilon \right)}$.

Отметим, что для получения уравнения (8) мы использовали тот факт, что ${\displaystyle dx_{1}/dt=0}$ и ${\displaystyle dx_{2}/dt=0}$.

Теперь позвольте ${\displaystyle x_{1}\rightarrow x_{s}(t)-\epsilon }$ и ${\displaystyle x_{2}\rightarrow x_{s}(t)+\epsilon }$, когда у нас есть ${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{s}(t)-\epsilon }w_{t}\,dx\rightarrow 0}$ и ${\displaystyle \int _{x_{s}(t)+\epsilon }^{x_{2}}w_{t}\,dx\rightarrow 0}$, а в пределе

${\displaystyle (\;9)\quad \quad u_{s}\left(w_{1}-w_{2}\right)=f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right),}$

где мы определили ${\displaystyle u_{s}=dx_{s}(t)/dt\,}$ (система характеристика или скорость удара), который простым делением дает

${\displaystyle (10)\quad \quad u_{s}={\frac {f\left(w_{1}\right)-f\left(w_{2}\right)}{w_{1}-w_{2}}}.}$

Уравнение (9) представляет собой условие скачка закона сохранения (6). Шоковая ситуация возникает в системе, где характеристики пересекаются, и в этих условиях требование единственного однозначного решения состоит в том, чтобы решение удовлетворяло условие допустимости или условие энтропии. Для физически реальных приложений это означает, что решение должно удовлетворять Условие слабой энтропии

${\displaystyle (11)\quad \quad f^{\prime }\left(w_{1}\right)>u_{s}>f^{\prime }\left(w_{2}\right),}$

где ${\displaystyle f^{\prime }\left(w_{1}\right)}$ и ${\displaystyle f^{\prime }\left(w_{2}\right)}$ представлять характерные скорости в условиях восходящего и нисходящего потоков соответственно.

Состояние шока

В случае гиперболического закона сохранения (6) мы видели, что скорость скачка может быть получена простым делением. Однако для одномерных уравнений Эйлера (1), (2) и (3) мы имеем векторную переменную состояния ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho &\rho u&E\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$ и условия перехода становятся

${\displaystyle (12)\quad \quad \quad \quad \;u_{s}\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)=\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}}$

${\displaystyle (13)\quad \quad \;u_{s}\left(\rho _{2}u_{2}-\rho _{1}u_{1}\right)=\left(\rho _{2}u_{2}^{2}+p_{2}\right)-\left(\rho _{1}u_{1}^{2}+p_{1}\right)}$

${\displaystyle (14)\quad \quad u_{s}\left(E_{2}-E_{1}\right)=\left[\rho _{2}u_{2}\left(e_{2}+{\frac {1}{2}}u_{2}^{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\right]-\left[\rho _{1}u_{1}\left(e_{1}+{\frac {1}{2}}u_{1}^{2}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\right].}$

Уравнения (12), (13) и (14) известны как Условия Ренкина – Гюгонио для уравнений Эйлера и получаются путем применения законов сохранения в интегральной форме для контрольного объема, включающего скачок уплотнения. Для этой ситуации ${\displaystyle u_{s}}$ не может быть получен простым делением. Однако это можно показать, преобразовав задачу в движущуюся систему координат (установка ${\displaystyle u_{s}':=u_{s}-u_{1}}$, ${\displaystyle u'_{1}:=0}$, ${\displaystyle u'_{2}:=u_{2}-u_{1}}$удалять ${\displaystyle u_{1}}$) и некоторые алгебраические манипуляции (включая устранение ${\displaystyle u'_{2}}$ из преобразованного уравнения (13) с использованием преобразованного уравнения (12)), скорость удара определяется выражением

${\displaystyle (15)\quad \quad u_{s}=u_{1}+c_{1}{\sqrt {1+{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}-1\right)}},}$

где ${\displaystyle c_{1}={\sqrt {\gamma p_{1}/\rho _{1}}}}$ - скорость звука в жидкости на входе в поток.^{[9][10][11][12][13][14]}

Ударная волна Гюгонио и линия Рэлея в твердых телах

Ударная линия Гюгонио и Рэлея в п-v самолет. Кривая представляет собой график уравнения (24) с п₁, v₁, c₀, и s известен. Если п₁ = 0, кривая пересечет ось удельного объема в точке v₁.

Предел упругости Гюгонио в п-v плоскость для удара из упругопластического материала.

Для ударов в твердых телах выражение в замкнутой форме, такое как уравнение (15), не может быть получено из первых принципов. Вместо этого экспериментальные наблюдения^[15] указывают, что линейная связь^[16] можно использовать вместо этого (называемый шоком Гюгонио в ты_s-ты_п самолет), имеющий вид

${\displaystyle u_{s}=c_{0}+s\,u_{p}=c_{0}+s\,u_{2}}$

где c₀ - объемная скорость звука в материале (при одноосном сжатии), s - параметр (наклон ударной волны Гюгонио), полученный из подгонки к экспериментальным данным, и ты_п = ты₂ - скорость частицы внутри сжатой области за фронтом ударной волны.

Приведенное выше соотношение в сочетании с уравнениями Гюгонио для сохранения массы и импульса может быть использовано для определения ударной волны Гюгонио в п-v самолет, где v - удельный объем (на единицу массы):^[17]

${\displaystyle p_{2}-p_{1}={\frac {c_{0}^{2}\,\rho _{1}\,\rho _{2}\,\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)}{\left[\rho _{2}-s\left(\rho _{2}-\rho _{1}\right)\right]^{2}}}={\frac {c_{0}^{2}\,\left(v_{1}-v_{2}\right)}{\left[v_{1}-s\left(v_{1}-v_{2}\right)\right]^{2}}}\,.}$

Альтернативные уравнения состояния, такие как Уравнение состояния Ми – Грюнайзена. также может использоваться вместо приведенного выше уравнения.

Шок Гюгонио описывает локус всех возможных термодинамические состояния материал может существовать за ударной волной, спроецированной на двумерную плоскость состояний. Таким образом, это набор состояний равновесия, который не представляет конкретно путь, по которому материал претерпевает преобразование.

Слабые удары изэнтропический и что изоэнтропа представляет собой путь, по которому материал нагружается от начального до конечного состояния волной сжатия со сходящимися характеристиками. В случае слабых толчков Гюгонио, следовательно, упадет прямо на изэнтропу и может быть использован непосредственно в качестве эквивалентного пути. В случае сильного толчка мы больше не можем делать это упрощение напрямую. Однако для инженерных расчетов считается, что изэнтропа достаточно близка к Гюгонио, чтобы можно было сделать такое же предположение.

Если Гюгонио приблизительно представляет собой путь нагружения между состояниями для "эквивалентной" волны сжатия, то условия скачка для пути ударного нагружения можно определить, проведя прямую линию между начальным и конечным состояниями. Эта линия называется линией Рэлея и имеет следующее уравнение:

${\displaystyle p_{2}-p_{1}=u_{s}^{2}\left(\rho _{1}-{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}}}\right)\,}$

Предел упругости Гюгонио

Самые прочные материалы подвергаются пластик деформации при сильных ударах. Точка на скачке Гюгонио, в которой материал переходит из чисто эластичный состояние в упруго-пластическое состояние называется пределом упругости Гюгонио (HEL), а давление, при котором происходит этот переход, обозначается п_HEL. Ценности п_HEL может составлять от 0,2 до 20 ГПа. Выше HEL материал теряет большую часть своей прочности на сдвиг и начинает вести себя как жидкость.

Смотрите также

• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Ударная полярная
• Уравнение состояния Ми – Грюнайзена.
• Викибук по инженерной акустике

использованная литература

1. Ренкин, В. Дж. М. (1870). «К термодинамической теории волн конечных продольных возмущений». Философские труды Лондонского королевского общества. 160: 277–288. Дои:10.1098 / рстл.1870.0015.
2. Гюгонио, Х. (1887). "Воспоминание о распространении движений в корпусах и специальных элементах в газах (première partie) [Воспоминания о распространении движений в телах, особенно в идеальных газах (первая часть)]". Journal de l'École Polytechnique (На французском). 57: 3–97. См. Также: Hugoniot, H. (1889) "Память о пропаганде движений в корпусе и специальных элементах в духе парфюмерии (deuxième partie)" [Воспоминание о распространении движений в телах, особенно в идеальных газах (часть вторая)], Journal de l'École Polytechnique, т. 58, страницы 1–125.
3. Салас, М. Д. (2006). «Любопытные события, ведущие к теории ударных волн». Приглашенная лекция. 17-й симпозиум по шоковому взаимодействию, Рим, 4–8 сентября " (PDF).
4. Уильямс, Ф.А. (2018). Теория горения. CRC Press.
5. Уильямс, Ф.А. (2018). Теория горения. CRC Press.
6. Зельдович Ю. Б., Райзер Ю. П. (2012). Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Курьерская корпорация.
7. Исследовательский штаб Эймса (1953), «Уравнения, таблицы и диаграммы для сжимаемого потока» (PDF), Отчет 1135 Национального консультативного комитета по аэронавтике
8. Отметим, что интегральный закон сохранения ${\displaystyle \scriptstyle (6)}$ в общем случае не может быть получено из дифференциального уравнения ${\displaystyle \scriptstyle (6')}$ путем интегрирования по ${\displaystyle \scriptstyle [x_{1};x_{2}]}$ потому что ${\displaystyle \scriptstyle (6')}$ справедливо только для гладких решений.
9. Липманн, Х. В., и Рошко, А. (1957). Элементы газодинамики. Курьерская корпорация.
10. Ландау, Л. Д. (1959). Лифшиц Е.М., Механика жидкости. Курс теоретической физики, 6.
11. Шапиро, А. Х. (1953). Динамика и термодинамика течения сжимаемой жидкости. Джон Вили и сыновья.
12. Андерсон, Дж. Д. (1990). Современный сжимаемый поток: с исторической точки зрения (Том 12). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
13. Уизем, Дж. Б. (1999). Линейные и нелинейные волны. Вайли. ISBN  978-0-471-94090-6.
14. Курант Р. и Фридрихс К. О. (1999). Сверхзвуковое течение и ударные волны (Том 21). Springer Science & Business Media.
15. Аренс, Т.Дж. (1993), «Уравнение состояния» (PDF), Ударное сжатие твердых тел под высоким давлением / Под ред. Дж. Р. Асаи и М. Шахинпур, Springer-Verlag, Нью-Йорк: 75–113, Дои:10.1007/978-1-4612-0911-9_4, ISBN  978-1-4612-6943-4
16. Хотя широко распространено мнение о наличии линейной зависимости, экспериментальные данные показывают, что почти 80% испытанных материалов не удовлетворяют этому широко принятому линейному поведению. См. Kerley, G.I, 2006, «Линейное соотношение США и США в физике ударных волн», arXiv:1306.6916; для подробностей.
17. Пуарье, Дж. П. (2008) «Введение в физику недр Земли», Cambridge University Press.