Лемма Расиова – Сикорского. - Rasiowa–Sikorski lemma

В аксиоматическая теория множеств, то Лемма Расиова – Сикорского. (названный в честь Хелена Расиова и Роман Сикорский ) - один из самых фундаментальных фактов, используемых в технике принуждение. В области принуждения подмножество E посета (п, ≤) называется плотный в п если для любого п ∈ п есть е ∈ E с е ≤ п. Если D семейство плотных подмножеств п, затем фильтр F в п называется D-общий если

F ∩ E ≠ ∅ для всех E ∈ D.

Теперь мы можем констатировать Лемма Расиова – Сикорского.:

Позволять (п, ≤) быть посеть и п ∈ п. Если D это счетный семья плотный подмножества п тогда существует D-родовой фильтр F в п такой, что п ∈ F.

Доказательство леммы Расиовы – Сикорского.

Доказательство проводится следующим образом: поскольку D счетно, можно перечислить плотные подмножества п в качестве D₁, D₂,…. По предположению существует п ∈ п. Тогда по плотности существует п₁ ≤ п с п₁ ∈ D₁. Повторяя, получается… ≤ п₂ ≤ п₁ ≤ п с п_я ∈ D_я. потом грамм = { q ∈ п: ∃ я, q ≥ п_я} это D-общий фильтр.

Лемму Расиовой – Сикорского можно рассматривать как эквивалент более слабой формы Аксиома мартина. В частности, он эквивалентен MA (${\displaystyle \aleph _{0}}$).

Примеры

• За (п, ≤) = (Func (Икс, Y), ⊇), ч.у. частичные функции из Икс к Yв обратном порядке включения, определим D_Икс = {s ∈ п: Икс ∈ dom (s)}. Если Икс счетно, лемма Расиовы – Сикорского дает {D_Икс: Икс ∈ Икс} -общий фильтр F и, таким образом, функция F: Икс → Y.
• Если придерживаться обозначений, используемых при работе с D-общие фильтры, {ЧАС ∪ грамм₀: п_ijп_т} образует ЧАС-общий фильтр.
• Если D бесчисленное множество, но мощность строго меньше, чем ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ и позет имеет условие счетной цепи, мы можем вместо этого использовать Аксиома мартина.

Смотрите также

• Общий фильтр
• Аксиома мартина

Рекомендации

• Цесельский, Кшиштоф (1997). Теория множеств для работающего математика. Тексты студентов Лондонского математического общества. 39. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-59441-3. Zbl  0938.03067.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости. Исследования по логике и основам математики. 102. Северная Голландия. ISBN  0-444-85401-0. Zbl  0443.03021.

внешняя ссылка

• Статья Тима Чоу в группе новостей Принуждение для чайников - хорошее введение в концепции и идеи, лежащие в основе форсинга; охватывает основные идеи, опуская технические детали