Маятник Рэлея – Лоренца - Rayleigh–Lorentz pendulum

Маятник Рэлея – Лоренца (или же Маятник Лоренца) это простой маятник, но подвергается медленно изменяющейся частоте из-за внешнего воздействия (частота изменяется путем изменения длины маятника), названного в честь Лорд Рэйли и Хендрик Лоренц.^[1] Эта проблема легла в основу концепции адиабатические инварианты в механике. Из-за медленного изменения частоты показано, что отношение средней энергии к частоте постоянно.

История

Проблема маятника была впервые сформулирована Лорд Рэйли в 1902 г., хотя некоторые математические аспекты ранее обсуждались Леон Лекорну в 1895 г.^[2][3] Не зная о работе Рэлея, сначала Сольвей конференция в 1911 г., Хендрик Лоренц предложил вопрос, Как ведет себя простой маятник, когда длина подвешивающей нити постепенно сокращается?, чтобы прояснить квантовая теория в это время. К тому, что Альберт Эйнштейн ответил на следующий день, сказав, что энергия и частота квантового маятника изменяются таким образом, что их соотношение остается постоянным, так что маятник находится в том же квантовом состоянии, что и исходное состояние. Эти две отдельные работы легли в основу концепции адиабатический инвариант, которые нашли применение в различных сферах и старая квантовая теория. В 1958 г. Субраманян Чандрасекар проявил интерес к проблеме и изучил ее, так что возобновился интерес к проблеме, который впоследствии был изучен многими другими исследователями, такими как Джон Эденсор Литтлвуд и Т. Д.^[4][5][6]

Математическое описание

Уравнение простого гармонического движения с частотой ${\displaystyle \omega }$ для перемещения ${\displaystyle x(t)}$ дан кем-то

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}x=0.}$

Если частота постоянна, решение просто дается ${\displaystyle x=A\cos(\omega t+\phi )}$. Но если разрешить частоту медленно меняться со временем ${\displaystyle \omega =\omega (t)}$, или, точнее, если характерный временной масштаб изменения частоты намного меньше периода колебания, т. е.

${\displaystyle \left|{\frac {1}{\omega }}{\frac {d\omega }{dt}}\right|\ll \omega ,}$

то можно показать, что

${\displaystyle {\frac {\overline {E}}{\omega }}={\text{constant}},}$

куда ${\displaystyle {\overline {E}}}$ - средняя энергия за колебание. Поскольку частота изменяется со временем из-за внешнего воздействия, сохранение энергии больше не выполняется, и энергия одного колебания не является постоянной. Во время колебания частота (хоть и медленно) изменяется, как и его энергия. Следовательно, чтобы описать систему, нужно определить среднюю энергию на единицу массы для данного потенциала ${\displaystyle V(x;\omega )}$ следующее

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {E}}=\oint dt\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+V(x(t);\omega (t))\right]/\oint dt\end{aligned}}}$

где замкнутый интеграл означает, что он берется за полное колебание. При таком определении можно увидеть, что выполняется усреднение, взвешивая каждый элемент орбиты на долю времени, которое маятник проводит в этом элементе. Для простого гармонического осциллятора она сводится к

${\displaystyle {\overline {E}}={\frac {1}{2}}A^{2}\omega ^{2}}$

где амплитуда и частота теперь являются функциями времени.

Рекомендации

1. Стратт, Дж. У., и Рэлей, Б. (1902). О давлении вибраций. Философский журнал, 3, 338-346.
2. Лекорну, Л. (1895). Mémoire sur le pendule de longueur variable. Acta Mathematica, 19 (1), 201-249.
3. Санчес-Сото, Л. Л., и Зоидо, Дж. (2013). Вариации адиабатической инвариантности: маятник Лоренца. Американский журнал физики, 81 (1), 57-62.
4. Чандрасекхар, С. (1958). Адиабатические инварианты в движениях заряженных частиц. в "Плазма в магнитном поле: симпозиум по магнитогидродинамике": RKM Landshoff (Ed.). Stanford University Press.
5. Чандрасекхар, С. (1989). Адиабатические инварианты в движениях заряженных частиц. Избранные статьи, Том 4: Физика плазмы, гидродинамическая и гидромагнитная устойчивость и приложения тензорно-вириальной теоремы, 4, 85.
6. Литтлвуд, Дж. Э. (1962). Задача о маятнике Лоренца (№ TSR339). ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЦЕНТР МАТЕМАТИКИ ВИСКОНСИНА.