Адиабатический инвариант - Adiabatic invariant

Собственность физическая система, например, энтропия газа, которая остается примерно постоянной, когда изменения происходят медленно, называется адиабатический инвариант. Под этим подразумевается, что если система изменяется между двумя конечными точками, по мере того, как время изменения между конечными точками увеличивается до бесконечности, изменение адиабатического инварианта между двумя конечными точками стремится к нулю.

В термодинамика, адиабатический процесс - это изменение, происходящее без теплового потока; он может быть медленным или быстрым. Обратимый адиабатический процесс - это адиабатический процесс, который происходит медленно по сравнению со временем достижения равновесия. В обратимом адиабатическом процессе система находится в равновесии на всех стадиях и энтропия постоянно. В 1-й половине 20-го века ученые, работавшие в области квантовой физики, использовали термин «адиабатический» для обратимых адиабатических процессов, а затем для любых постепенно меняющихся условий, которые позволяют системе адаптировать свою конфигурацию. Квантово-механическое определение ближе к термодинамической концепции квазистатический процесс, и не имеет прямого отношения к адиабатическим процессам в термодинамике.

В механика, адиабатическое изменение - это медленная деформация Гамильтониан, где частичная скорость изменения энергии намного медленнее, чем орбитальная частота. Области, окруженные различными движениями в фазовом пространстве, являются адиабатические инварианты.

В квантовая механика, адиабатическое изменение - это изменение, которое происходит со скоростью, намного меньшей, чем разница в частоте между собственными состояниями энергии. В этом случае энергетические состояния системы не совершают переходов, так что квантовое число является адиабатическим инвариантом.

В старая квантовая теория был сформулирован путем приравнивания квантового числа системы к ее классическому адиабатическому инварианту. Это определило форму Квантование Бора – Зоммерфельда правило: квантовое число - это площадь в фазовом пространстве классической орбиты.

Термодинамика

В термодинамике адиабатические изменения - это те изменения, которые не увеличивают энтропию. Они происходят медленно по сравнению с другими характерными временными рамками интересующей системы.^[1] и допускать тепловой поток только между объектами с одинаковой температурой. Для изолированных систем адиабатическое изменение не позволяет теплу течь внутрь или наружу.

Адиабатическое расширение идеального газа

Если контейнер с идеальный газ расширяется мгновенно, температура газа не меняется, потому что ни одна из молекул не замедляется. Молекулы сохраняют свою кинетическую энергию, но теперь газ занимает больший объем. Однако, если контейнер расширяется медленно, так что закон идеального давления газа сохраняется в любое время, молекулы газа теряют энергию со скоростью, с которой они действительно воздействуют на расширяющуюся стенку. Количество выполняемой ими работы - это давление, умноженное на площадь стенки, умноженное на смещение наружу, то есть давление, умноженное на изменение объема газа:

${\displaystyle dW=PdV={Nk_{B}T \over V}dV}$

Если в газ не поступает тепло, энергия молекул газа уменьшается на ту же величину. По определению, газ идеален, когда его температура зависит только от внутренней энергии частицы, а не от объема. Так

${\displaystyle dT={1 \over NC_{v}}dE}$

Где ${\displaystyle C_{v}}$ - удельная теплоемкость при постоянном объеме. Когда изменение энергии полностью связано с работой, проделанной на стене, изменение температуры определяется по формуле:

${\displaystyle NC_{v}dT=-dW=-{N{k_{B}}T \over V}dV}$

Это дает дифференциальную взаимосвязь между изменениями температуры и объема, которые можно проинтегрировать, чтобы найти инвариант. Постоянная ${\displaystyle k_{B}}$ это просто коэффициент преобразования единиц измерения, который можно принять равным единице:

${\displaystyle \,d(C_{v}N\log T)=-d(N\log V)}$

Так

${\displaystyle \,C_{v}N\log T+N\log V}$

- адиабатический инвариант, связанный с энтропией

${\displaystyle \,S=C_{v}N\log T+N\log V-N\log N=N\log(T^{C_{v}}V/N)}$

Итак, энтропия - это адиабатический инвариант. В N бревно(N) делает энтропию аддитивной, поэтому энтропия двух объемов газа - это сумма энтропий каждого из них.

В молекулярной интерпретации S - логарифм объема фазового пространства всех состояний газа с энергией E(Т) и объем V.

Для одноатомного идеального газа это легко увидеть, записав энергию

${\displaystyle E={1 \over 2m}\sum _{k}p_{k1}^{2}+p_{k2}^{2}+p_{k3}^{2}}$

Различные внутренние движения газа с полной энергией E определить сферу, поверхность 3N-мерный шар с радиусом ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2mE}}}$. Объем шара

${\displaystyle {2\pi ^{3N/2}(2mE)^{{3N-1} \over 2}} \over {\Gamma (3N/2)}}$,

куда ${\displaystyle \Gamma }$ это Гамма-функция.

Поскольку каждая молекула газа может находиться где угодно в объеме V, объем фазового пространства, занятый состояниями газа с энергией E является

${\displaystyle {2\pi ^{3N/2}(2mE)^{{3N-1} \over 2}}V^{N} \over {\Gamma (3N/2)}}$.

Поскольку N молекулы газа неразличимы, объем фазового пространства делится на ${\displaystyle N!=\Gamma (N+1)}$, количество перестановок N молекулы.

С помощью Приближение Стирлинга для гамма-функции и игнорирование факторов, исчезающих в логарифме после принятия N большой,

${\displaystyle S=N{\big (}3/2\log(E)-3/2\log(3N/2)+\log(V)-\log(N){\big )}}$

${\displaystyle =N{\big (}3/2\log(\scriptstyle {\frac {2}{3}}\displaystyle E/N)+\log(V/N){\big )}}$

Поскольку удельная теплоемкость одноатомного газа равна 3/2, это то же самое, что и термодинамическая формула для энтропии.

Закон Вина - адиабатическое расширение светового короба

Для ящика излучения, игнорируя квантовую механику, энергия классического поля в тепловом равновесии равна бесконечный, поскольку равнораспределение требует, чтобы каждая мода поля имела в среднем одинаковую энергию, а мод было бесконечно много. Это физически нелепо, поскольку означает, что вся энергия со временем уходит в высокочастотные электромагнитные волны.

Тем не менее, без квантовой механики есть кое-что, что можно сказать о равновесном распределении только на основе термодинамики, потому что все еще существует понятие адиабатической инвариантности, которое связывает ящики разного размера.

Когда ящик медленно расширяется, частота отражения света от стены может быть вычислена из Доплеровский сдвиг. Если стена неподвижна, свет отражается с той же частотой. Если стена движется медленно, частота отдачи равна только в кадре, где стена неподвижна. В кадре, где стена удаляется от источника света, входящий свет более синий, чем исходящий, на удвоенный коэффициент доплеровского сдвига. v/c.

${\displaystyle \Delta f={2v \over c}f}$

С другой стороны, энергия света также уменьшается, когда стена удаляется, потому что свет воздействует на стену за счет давления излучения. Поскольку свет отражается, давление в два раза превышает импульс света, который равен E/c. Скорость, с которой давление действует на стену, определяется умножением на скорость:

${\displaystyle \,\Delta E=v{2E \over c}}$

Это означает, что изменение частоты света равно работе, совершаемой на стене давлением излучения. Отраженный свет изменяется как по частоте, так и по энергии на одинаковую величину:

${\displaystyle {\Delta f \over f}={\Delta E \over E}}$

Поскольку при медленном перемещении стены распределение тепла должно оставаться неизменным, вероятность того, что свет имеет энергию E с частотой ж должно быть только функцией E/ж.

Эта функция не может быть определена только на основе термодинамических соображений, и Вин предположил, что форма действительна при высокой частоте. Он предположил, что средняя энергия в высокочастотных модах подавляется фактором типа Больцмана. Это не ожидаемая классическая энергия в моде, которая равна ${\displaystyle 1/2\beta }$ по равнораспределению, но новое и неоправданное предположение, которое соответствует высокочастотным данным.

${\displaystyle \,\langle E_{f}\rangle =e^{-\beta hf}}$

Когда математическое ожидание складывается по всем модам в резонаторе, это Распределение Вены, и описывает термодинамическое распределение энергии в классическом газе фотонов. Закон Вина неявно предполагает, что свет статистически состоит из пакетов, которые изменяют энергию и частоту одинаковым образом. Энтропия газа Вина масштабируется пропорционально объему в степень N, куда N количество пакетов. Это привело Эйнштейна к предположению, что свет состоит из локализуемых частиц с энергией, пропорциональной частоте. Тогда энтропия газа Вина может получить статистическую интерпретацию как количество возможных положений, в которых могут находиться фотоны.

Классическая механика - переменные действия

Маятник с очень малой вибрацией, где ${\displaystyle \omega (t)={\sqrt {g \over L(t)}}\approx {\sqrt {g \over L_{0}}}}$ и ${\displaystyle L(t)\approx L_{0}+\varepsilon (t)+...}$

Предположим, что гамильтониан медленно изменяется во времени, например, одномерный гармонический осциллятор с изменяющейся частотой.

${\displaystyle H_{t}(p,x)={p^{2} \over 2m}+{m\omega (t)^{2}x^{2} \over 2}\,}$

В действие J классической орбиты - это область, ограниченная орбитой в фазовом пространстве.

${\displaystyle J=\int _{0}^{T}p(t){dx \over dt}dt\,}$

С J представляет собой интеграл за полный период, это только функция энергии. Когда гамильтониан постоянен во времени и J постоянна во времени, канонически сопряженная переменная ${\displaystyle \theta }$ увеличивается во времени с постоянной скоростью.

${\displaystyle {d\theta \over dt}={\partial H \over \partial J}=H\,'(J)\,}$

Так что постоянная ${\displaystyle H\,'}$ может использоваться для изменения производных по времени по орбите на частные производные по ${\displaystyle \theta }$ при постоянном J. Дифференцируя интеграл для J относительно J дает личность, которая исправляет ${\displaystyle H\,':}$

${\displaystyle {dJ \over dJ}=1=\int _{0}^{T}{\bigg (}{\partial p \over \partial J}{dx \over dt}+p{\partial \over \partial J}{dx \over dt}{\bigg )}dt=H\,'\int _{0}^{T}{\bigg (}{\partial p \over \partial J}{\partial x \over \partial \theta }-{\partial p \over \partial \theta }{\partial x \over \partial J}{\bigg )}dt\,}$

Подынтегральное выражение - это Скобка Пуассона из Икс и п. Скобка Пуассона двух канонически сопряженных величин вида Икс и п равно 1 в любой канонической системе координат. Так

${\displaystyle 1=H\,'\int _{0}^{T}\{x,p\}\,dt=H\,'\,T\,}$

и ${\displaystyle H\,'}$ - обратный период. Переменная ${\displaystyle \theta }$ увеличивается на равную величину в каждый период для всех значений J - это угол-переменный.

Адиабатическая инвариантность J

Гамильтониан является функцией J только, и в простом случае гармонического осциллятора.

${\displaystyle \,H=\omega J\,}$

Когда ЧАС не имеет временной зависимости, J постоянно. Когда ЧАС медленно меняется во времени, скорость изменения J может быть вычислен путем повторного выражения интеграла для J

${\displaystyle J=\int _{0}^{2\pi }p{\partial x \over \partial \theta }d\theta \,}$

Производная по времени этой величины равна

${\displaystyle {dJ \over dt}=\int _{0}^{2\pi }{\bigg (}{dp \over dt}{\partial x \over \partial \theta }+p{d \over dt}{\partial x \over \partial \theta }{\bigg )}d\theta \,}$

Замена производных по времени на производные тета, используя ${\displaystyle d\theta =\omega dt\,}$ и установка ${\displaystyle \omega :=1\,}$ не теряя общий смысл (${\displaystyle \omega }$ является глобальной мультипликативной константой в результирующей производной по времени от действия), дает

${\displaystyle {dJ \over dt}=\int _{0}^{2\pi }{\bigg (}{\partial p \over \partial \theta }{\partial x \over \partial \theta }+p{\partial \over \partial \theta }{\partial x \over \partial \theta }{\bigg )}d\theta \,}$

Так что пока координаты J, ${\displaystyle \theta }$ не меняются заметно за один период, это выражение можно проинтегрировать по частям, чтобы получить ноль. Это означает, что при медленных вариациях не происходит изменения низшего порядка в области, ограниченной орбитой. Это теорема адиабатической инвариантности - переменные действия являются адиабатическими инвариантами.

Для гармонического осциллятора площадь в фазовом пространстве орбиты при энергии E - площадь эллипса постоянной энергии,

${\displaystyle E={p^{2} \over 2m}+{m\omega ^{2}x^{2} \over 2}\,}$

В Икс-радиус этого эллипса ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2E/\omega ^{2}m}}}$, в то время как п-радиус эллипса ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2mE}}}$. При умножении площадь равна ${\displaystyle 2\pi E/\omega }$. Итак, если маятник медленно втягивается, так что частота изменяется, энергия изменяется на пропорциональную величину.

Старая квантовая теория

После того, как Планк определил, что закон Вина можно распространить на все частоты, даже очень низкие, путем интерполяции с классическим законом равнораспределения для излучения, физики захотели понять квантовое поведение других систем.

Закон излучения Планка квантовал движение осцилляторов поля в единицах энергии, пропорциональных частоте:

${\displaystyle E=hf=\hbar \omega \,}$

Квант может зависеть только от энергии / частоты за счет адиабатической инвариантности, и поскольку энергия должна быть аддитивной при установке боксов встык, уровни должны быть равномерно распределены.

Эйнштейн, а затем Дебай расширили область квантовой механики, рассматривая звуковые моды в твердом теле как квантованные осцилляторы. Эта модель объясняет, почему удельная теплоемкость твердых тел приближается к нулю при низких температурах вместо того, чтобы оставаться фиксированной на уровне ${\displaystyle 3k_{B}}$ как предсказывают классические равнораспределение.

На Сольвей конференция, был поднят вопрос о квантовании других движений, и Лоренц указал на проблему, известную как Маятник Рэлея – Лоренца. Если вы рассмотрите квантовый маятник, струна которого укорачивается очень медленно, квантовое число маятника не может измениться, потому что ни в одной точке не существует достаточно высокой частоты, чтобы вызвать переход между состояниями. Но частота маятника меняется, когда струна становится короче, поэтому квантовые состояния меняют энергию.

Эйнштейн ответил, что при медленном натяжении частота и энергия маятника меняются, но соотношение остается неизменным. Это аналогично наблюдению Вина о том, что при медленном движении стены отношение энергии к частоте отраженных волн остается постоянным. Был сделан вывод, что квантованные величины должны быть адиабатическими инвариантами.

Эта аргументация была расширена Зоммерфельдом в общую теорию: квантовое число произвольной механической системы задается переменной адиабатического действия. Поскольку переменная действия в гармоническом осцилляторе является целым числом, общее условие таково:

${\displaystyle \int pdq=nh\,}$

Это условие было основой старая квантовая теория, который смог предсказать качественное поведение атомных систем. Теория неточна для малых квантовых чисел, поскольку она смешивает классические и квантовые концепции. Но это был полезный шаг на полпути к новая квантовая теория.

Физика плазмы

В физика плазмы существует три адиабатических инварианта движения заряженных частиц.

Первый адиабатический инвариант μ

В магнитный момент вращающейся частицы,

${\displaystyle \mu ={\frac {mv_{\perp }^{2}}{2B}}}$

- постоянная движения всех порядков в разложении по ${\displaystyle \omega /\omega _{c}}$, куда ${\displaystyle \omega }$ представляет собой скорость любых изменений, испытываемых частицей, например, из-за столкновений или из-за временных или пространственных изменений магнитного поля. Следовательно, магнитный момент остается почти постоянным даже при изменениях со скоростью, приближающейся к гирочастоте. Когда μ постоянна, энергия перпендикулярной частицы пропорциональна B, поэтому частицы можно нагревать, увеличивая B, но это сделка «один выстрел», потому что поле не может увеличиваться бесконечно. Он находит применение в магнитные зеркала и магнитные бутылки.

Есть несколько важных ситуаций, в которых магнитный момент нет инвариант:

• Магнитная накачка: Если частота столкновений больше, чем частота накачки, μ больше не сохраняется. В частности, столкновения позволяют получить чистый нагрев за счет передачи части перпендикулярной энергии параллельной энергии.
• Циклотронный нагрев: Если B колеблется на циклотронной частоте, условие адиабатической инвариантности нарушается и возможен нагрев. В частности, индуцированное электрическое поле вращается в фазе с некоторыми частицами и непрерывно их ускоряет.
• Магнитные бугры: Магнитное поле в центре каспа исчезает, поэтому циклотронная частота автоматически меньше, чем скорость любой изменения. Таким образом, магнитный момент не сохраняется, и частицы относительно легко рассеиваются в конус потерь.

Второй адиабатический инвариант J

В продольный инвариант частицы, попавшей в ловушку магнитное зеркало,

${\displaystyle J=\int _{a}^{b}p_{\parallel }ds}$

где интеграл находится между двумя точками поворота, также является адиабатическим инвариантом. Это гарантирует, например, что частица в магнитосфера движение вокруг Земли всегда возвращается к одной и той же силовой линии. Адиабатическое условие нарушается в временная магнитная накачка, где длина магнитного зеркала колеблется с частотой отскока, что приводит к чистому нагреву.

Третий адиабатический инвариант, ${\displaystyle \Phi }$

Полный магнитный поток ${\displaystyle \Phi }$ окруженный дрейфовой поверхностью - это третий адиабатический инвариант, связанный с периодическим движением захваченных зеркалами частиц, дрейфующих вокруг оси системы. Поскольку это дрейфовое движение относительно медленное, ${\displaystyle \Phi }$ в практических приложениях часто не сохраняется.

Рекомендации

1. Аносов, Д. В .; Фаворский, А. П. (1988). «Адиабатический инвариант». В Hazewinkel, Michiel (ред.). Энциклопедия математики. 1 (А-В). Рейдел, Дордрехт. С. 43–44.

• Юрграу, Вольфганг; Стэнли Мандельштам (1979). Вариационные принципы в динамике и квантовой теории. Нью-Йорк: Дувр. ISBN  978-0-486-63773-0. §10
• Паули, Вольфганг (1973). Чарльз П. Энц (ред.). Лекции Паули по физике. 4. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN  978-0-262-66035-8. стр. 85–89

внешняя ссылка

• конспект лекций по второму адиабатическому инварианту
• конспект лекций о третьем адиабатическом инварианте