Теорема Риба о сфере - Reeb sphere theorem

В математика, Теорема Риба о сфере, названный в честь Жорж Риб, утверждает, что

Замкнутое ориентированное связное многообразие M ^п который допускает сингулярное слоение наличие только центров - это гомеоморфный к сфера S^п и у слоения ровно две особенности.

Слоение Морса

Особенность слоения F имеет Тип Морзе если в ее малой окрестности все слои слоения наборы уровней из Функция Морса, будучи сингулярностью a критическая точка функции. Особенность - это центр если это локальный экстремум функции; в противном случае особенность седло.

Количество центров c и количество седел ${\displaystyle s}$, конкретно ${\displaystyle c-s}$, тесно связана с топологией многообразия.

Обозначим ${\displaystyle \operatorname {ind} p=\min(k,n-k)}$, то индекс особенности ${\displaystyle p}$, куда k - индекс соответствующей критической точки функции Морса. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла не менее 1.

А Слоение Морса F на коллекторе M это единственное число трансверсально ориентированное слоение коразмерности один класса ${\displaystyle C^{2}}$ с изолированными особенностями такими, что:

• каждая особенность F имеет тип Морса,
• каждый единственный лист L содержит уникальную особенностьп; кроме того, если ${\displaystyle \operatorname {ind} p=1}$ тогда ${\displaystyle L\setminus p}$ не связано.

Теорема Риба о сфере

В этом случае ${\displaystyle c>s=0}$, футляр без седел.

Теорема:^[1] Позволять ${\displaystyle M^{n}}$ замкнутое ориентированное связное многообразие размерности ${\displaystyle n\geq 2}$. Предположить, что ${\displaystyle M^{n}}$ признает ${\displaystyle C^{1}}$-поперечно ориентированное слоение коразмерности один ${\displaystyle F}$ с непустым набором особенностей все они являются центрами. Тогда особый набор ${\displaystyle F}$ состоит из двух точек и ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфен сфере ${\displaystyle S^{n}}$.

Это следствие Теорема Риба об устойчивости.

Обобщение

Более общий случай ${\displaystyle c>s\geq 0.}$

В 1978 году Эдуар Вагнер обобщил теорему Риба о сфере на слоения Морса с седлами. Он показал, что количество центров не может быть слишком много по сравнению с количеством седел, в частности, ${\displaystyle c\leq s+2}$. Итак, есть ровно два случая, когда ${\displaystyle c>s}$:

(1) ${\displaystyle c=s+2,}$

(2) ${\displaystyle c=s+1.}$

Он получил описание многообразия, допускающего слоение с особенностями, удовлетворяющими (1).

Теорема:^[2] Позволять ${\displaystyle M^{n}}$ - связное компактное многообразие, допускающее слоение Морса ${\displaystyle F}$ с ${\displaystyle c}$ центры и ${\displaystyle s}$ седла. потом ${\displaystyle c\leq s+2}$. В случае ${\displaystyle c=s+2}$,

• ${\displaystyle M}$ гомеоморфен ${\displaystyle S^{n}}$,
• все седла имеют индекс 1,
• каждый правильный лист диффеоморфен ${\displaystyle S^{n-1}}$.

Наконец, в 2008 году Сезар Камачо и Бруно Скардуа рассмотрели дело (2), ${\displaystyle c=s+1}$. Это возможно в небольшом количестве небольших размеров.

Теорема:^[3] Позволять ${\displaystyle M^{n}}$ - компактное связное многообразие и ${\displaystyle F}$ слоение Морса на ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle s=c+1}$, тогда

• ${\displaystyle n=2,4,8}$ или же ${\displaystyle 16}$,
• ${\displaystyle M^{n}}$ является Многообразие Иллса – Койпера.

Рекомендации

1. Риб, Жорж (1946), "Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff Complètement intégrable ou d'une fonction numérique", C. R. Acad. Sci. Париж (На французском), 222: 847–849, МИСТЕР  0015613.
2. Вагнер, Эдуард (1978), "Formes de Pfaff à singularités non dégénérées", Annales de l'Institut Fourier (На французском), 28 (3): xi, 165–176, МИСТЕР  0511820.
3. Камачо, Сезар; Scárdua, Bruno (2008), "О слоениях с особенностями Морса", Труды Американского математического общества, 136 (11): 4065–4073, arXiv:математика / 0611395, Дои:10.1090 / S0002-9939-08-09371-4, МИСТЕР  2425748.