Релятивистские уравнения Эйлера - Relativistic Euler equations

В механика жидкости и астрофизика, то релятивистские уравнения Эйлера являются обобщением Уравнения Эйлера которые учитывают эффекты общая теория относительности.У них есть приложения в астрофизика высоких энергий и числовая теория относительности, где они обычно используются для описания таких явлений, как гамма-всплески, явления аккреции, и нейтронные звезды, часто с добавлением магнитное поле.^[1] Примечание: для согласования с литературой в этой статье используется натуральные единицы, а именно скорость света ${\displaystyle c=1}$ и Соглашение о суммировании Эйнштейна.

Мотивация

Для большинства наблюдаемых на Земле жидкостей достаточно традиционной механики жидкости, основанной на механике Ньютона. Однако по мере того, как скорость жидкости приближается к скорости света или движется через сильные гравитационные поля, или давление приближается к плотности энергии (${\displaystyle P\sim \rho }$), эти уравнения больше не действуют.^[2] Такие ситуации часто возникают в астрофизических приложениях. Например, гамма-всплески часто имеют только скорость ${\displaystyle 0.01\%}$ меньше скорости света,^[3] а нейтронные звезды имеют гравитационные поля, превышающие ${\displaystyle 10^{11}}$ раз сильнее земного.^[4] В этих экстремальных обстоятельствах достаточно только релятивистской обработки жидкостей.

Вступление

В уравнения движения содержатся в уравнение неразрывности из тензор энергии-импульса ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$:

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0,}$

куда ${\displaystyle \nabla _{\mu }}$ это ковариантная производная.^[5] Для идеальная жидкость,

${\displaystyle T^{\mu \nu }\,=(e+p)u^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }.}$

Здесь ${\displaystyle e}$ - полная плотность массы-энергии (включая массу покоя и плотность внутренней энергии) жидкости, ${\displaystyle p}$ это давление жидкости, ${\displaystyle u^{\mu }}$ это четырехскоростной жидкости, и ${\displaystyle g^{\mu \nu }}$ это метрический тензор.^[2] В приведенных выше уравнениях a заявление о сохранении обычно добавляется, обычно консервация барионное число. Если ${\displaystyle n}$ это числовая плотность из барионы это можно констатировать

${\displaystyle \nabla _{\mu }(nu^{\mu })=0.}$

Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если трехскоростная жидкость значительно меньше чем скорость света, давление намного меньше, чем плотность энергии, а в последней преобладает плотность массы покоя. Чтобы замкнуть эту систему, уравнение состояния, например идеальный газ или Ферми газ, также добавляется.^[1]

Уравнения движения в плоском пространстве

В случае плоского пространства, то есть ${\displaystyle \nabla _{\mu }=\partial _{\mu }}$ и используя метрическая подпись из ${\displaystyle (-,+,+,+)}$, уравнения движения имеют вид^[6],

${\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\mu }\partial _{\mu }p}$

Где ${\displaystyle e=\gamma \rho c^{2}+\rho \epsilon }$ - плотность энергии системы, причем ${\displaystyle p}$ будучи давлением, и ${\displaystyle u^{\mu }=\gamma (1,{\frac {\mathbf {v} }{c}})}$ будучи четырехскоростной системы.

Раскладывая суммы и уравнения, имеем (используя ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}}$ как материальная производная )

${\displaystyle (e+p){\frac {\gamma }{c}}{\frac {du^{\mu }}{dt}}=-\partial ^{\mu }p-{\frac {\gamma }{c}}{\frac {dp}{dt}}u^{\mu }}$

Затем, выбирая ${\displaystyle u^{\nu }=u^{i}={\frac {\gamma }{c}}v_{i}}$ чтобы наблюдать за поведением самой скорости, мы видим, что уравнения движения становятся

${\displaystyle (e+p){\frac {\gamma }{c^{2}}}{\frac {d}{dt}}(\gamma v_{i})=-\partial _{i}p-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}{\frac {dp}{dt}}v_{i}}$

Обратите внимание, что принимая нерелятивистский предел, мы имеем ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}(e+p)=\gamma \rho +{\frac {1}{c^{2}}}\rho \epsilon +{\frac {1}{c^{2}}}p\approx \rho }$. Это говорит о том, что^{[требуется разъяснение ]} системы доминирует энергия покоя рассматриваемой жидкости.

В этом пределе мы имеем ${\displaystyle \gamma \rightarrow 1}$ и ${\displaystyle c\rightarrow \infty }$, и мы видим, что мы возвращаем уравнение Эйлера ${\displaystyle \rho {\frac {dv_{i}}{dt}}=-\partial _{i}p}$.

Вывод уравнений движения.

Для определения уравнений движения воспользуемся следующим тождеством:

${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$

Мы доказываем это, глядя на ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}$ а затем умножая каждую сторону на ${\displaystyle u_{\nu }}$. Сделав это и отметив, что ${\displaystyle u^{\mu }u_{\mu }=-1}$, у нас есть ${\displaystyle u_{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }-u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }}$. Переназначение индексов ${\displaystyle \alpha }$ в качестве ${\displaystyle \nu }$ показывает, что эти два полностью отменяются.

Теперь, когда мы отмечаем, что

${\displaystyle T^{\mu \nu }=wu^{\mu }u^{\nu }+pg^{\mu \nu }}$

Где мы неявно определили, что ${\displaystyle w\equiv e+p}$.

Мы можем вычислить, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\mu }T^{\mu \nu }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p\\\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }&=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\alpha }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\alpha }+\partial ^{\alpha }p\end{aligned}}}$

И поэтому

${\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }u^{\alpha }u_{\alpha }+wu^{\mu }u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }u^{\alpha }+u^{\nu }u_{\alpha }\partial ^{\alpha }p}$

Затем отметим тот факт, что ${\displaystyle u^{\alpha }u_{\alpha }=-1}$ и ${\displaystyle u^{\alpha }\partial _{\nu }u_{\alpha }=0}$. Отметим, что второе тождество следует из первого. При этих упрощениях мы находим, что

${\displaystyle u^{\nu }u_{\alpha }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p}$

И таким образом ${\displaystyle \partial _{\mu }T^{\mu \nu }+u_{\alpha }u^{\nu }\partial _{\mu }T^{\mu \alpha }=0}$, у нас есть

${\displaystyle (\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }+w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+wu^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }+\partial ^{\nu }p-(\partial _{\mu }w)u^{\mu }u^{\nu }-w(\partial _{\mu }u^{\mu })u^{\nu }+u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0}$

У нас есть две отмены, поэтому осталось

${\displaystyle (e+p)u^{\mu }\partial _{\mu }u^{\nu }=-\partial ^{\nu }p-u^{\nu }u^{\alpha }\partial _{\alpha }p=0}$

Смотрите также

• Релятивистская теплопроводность
• Уравнение состояния (космология)

Рекомендации

1. Резцолла, Л. (Лучано) (14 июня 2018 г.). Релятивистская гидродинамика. Занотти, Олиндо. Оксфорд. ISBN  978-0-19-880759-9. OCLC  1044938862.
2. Thorne, Kip S .; Блэндфорд, Роджер Д. (2017). Современная классическая физика. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 719–720. ISBN  9780691159027.
3. Литвик, Йорам; Сари, Реем (июль 2001 г.). «Нижние пределы на факторы Лоренца в гамма-всплесках». Астрофизический журнал. 555 (1): 540–545. arXiv:Astro-ph / 0011508. Bibcode:2001ApJ ... 555..540L. Дои:10.1086/321455. S2CID  228707.
4. Знакомство с солнцем и звездами. Грин, С. Ф., Джонс, Марк Х. (Марк Генри), Бернелл, С. Джоселин. (Соизд. Ред.). Кембридж: Открытый университет. 2004 г. ISBN  0-521-83737-5. OCLC  54663723.
5. Шютц, Бернард (2009). Первый курс общей теории относительности. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521887052.
6. Лифшиц, Л.Д .; Ландау, Э.М. (1987). Механика жидкости (2-е изд.). Эльзевир. п. 508. ISBN  0-7506-2767-0.