Численная теория относительности - Numerical relativity

Численная теория относительности это одна из ветвей общая теория относительности который использует численные методы и алгоритмы для решения и анализа проблем. С этой целью, суперкомпьютеры часто используются для учебы черные дыры, гравитационные волны, нейтронные звезды и многие другие явления, регулируемые Эйнштейна теория общая теория относительности. В настоящее время активной областью исследований в области численной теории относительности является моделирование релятивистских двойных систем и связанных с ними гравитационных волн. Другие филиалы также активны.

Обзор

Основная цель численной теории относительности - изучение время чей точная форма не известно. Пространства-время, найденные таким образом с помощью вычислений, могут быть либо полностью динамичный, стационарный или же статический и может содержать поля материи или вакуум. В случае стационарных и статических решений численные методы также могут использоваться для исследования устойчивости равновесных пространственных времен. В случае динамического пространства-времени проблема может быть разделена на проблему начального значения и проблему эволюции, каждая из которых требует разных методов.

Численная теория относительности применяется во многих областях, таких как космологический модели, критические явления, возмущенный черные дыры и нейтронные звезды, а слияние черных дыр и нейтронные звезды, например. В любом из этих случаев уравнения Эйнштейна могут быть сформулированы несколькими способами, которые позволяют нам развивать динамику. Пока Коши методы получили большую часть внимания, характерных и Исчисление Редже также использовались методы на основе. Все эти методы начинаются с моментального снимка гравитационные поля на некоторых гиперповерхность, начальные данные, и переносим эти данные на соседние гиперповерхности.[1]

Как и во всех задачах численного анализа, особое внимание уделяется стабильность и конвергенция численных решений. В этой строке большое внимание уделяется калибровочные условия, координаты, различные формулировки уравнений Эйнштейна и влияние, которое они оказывают на возможность получения точных численных решений.

Численное исследование относительности отличается от работы над классические теории поля поскольку многие методы, реализованные в этих областях, неприменимы в теории относительности. Однако многие аспекты связаны с крупномасштабными проблемами в других вычислительных науках, таких как вычислительная гидродинамика, электромагнетизм и механика твердого тела. Численные релятивисты часто работают с прикладными математиками и черпают идеи из числовой анализ, научные вычисления, уравнения в частных производных, и геометрия среди других математических областей специализации.

История

Основы теории

Альберт Эйнштейн опубликовал свою теорию общая теория относительности в 1915 г.[2] Это, как и его более ранняя теория специальная теория относительности описал пространство и время как единое целое. пространство-время при условии, что теперь известно как Уравнения поля Эйнштейна. Они образуют набор связанных нелинейный уравнения в частных производных (PDE). По прошествии более чем 100 лет с момента первой публикации теории относительно мало закрытая форма известны решения уравнений поля, и большинство из них являются космологический решения, предполагающие особые симметрия для уменьшения сложности уравнений.

Область численной теории относительности возникла из желания построить и изучить более общие решения уравнений поля путем приближенного численного решения уравнений Эйнштейна. Необходимым предшественником таких попыток было разложение пространства-времени на отдельные пространство и время. Впервые это было опубликовано Ричард Арновитт, Стэнли Дезер, и Чарльз В. Миснер в конце 1950-х годов в так называемой Формализм ADM.[3] Хотя по техническим причинам точные уравнения, сформулированные в исходной статье ADM, редко используются в численном моделировании, большинство практических подходов к численной теории относительности используют «3 + 1 разложение» пространства-времени на трехмерное пространство и одномерное время, которое тесно связано формулировке ADM, потому что процедура ADM переформулирует уравнения поля Эйнштейна в сдержанный проблема начального значения что можно решить с помощью вычислительные методологии.

В то время, когда ADM опубликовала свою оригинальную статью, компьютерные технологии не поддерживали численное решение их уравнений по какой-либо проблеме любого существенного размера. Первая задокументированная попытка численного решения уравнений поля Эйнштейна была предпринята Ганом и Линдквистом в 1964 году.[4] вскоре после этого последовал Smarr[5][6] и Эппли.[7] Эти ранние попытки были сосредоточены на развитии данных Миснера в осесимметрия (также известное как «измерение 2 + 1»). Примерно в то же время Цви Пиран написал первый код, который развивал систему с гравитационным излучением с использованием цилиндрической симметрии.[8] В этом расчете Пиран заложил основу для многих концепций, используемых сегодня при разработке уравнений ADM, таких как «свободная эволюция» и «эволюция с ограничениями»,[требуется разъяснение ] которые имеют дело с фундаментальной проблемой обработки уравнений связей, возникающих в формализме ADM. Применение симметрии уменьшило вычислительные требования и требования к памяти, связанные с проблемой, что позволило исследователям получить результаты на суперкомпьютеры доступно в то время.

Первые результаты

Первые реалистичные расчеты вращающегося коллапса были выполнены в начале восьмидесятых Ричардом Старком и Цви Пираном.[9] в котором впервые были рассчитаны формы гравитационных волн, возникающие в результате образования вращающейся черной дыры. В течение почти 20 лет после получения первоначальных результатов было довольно мало других опубликованных результатов по численной теории относительности, вероятно, из-за отсутствия достаточно мощных компьютеров для решения этой проблемы. В конце 1990-х годов бинарная черная дыра Грандиозный вызов Alliance успешно смоделировали лобовое столкновение бинарная черная дыра столкновение. В качестве шага постобработки группа вычислила горизонт событий для пространства-времени. Этот результат все еще требовал наложения и использования осесимметрии в расчетах.[10]

Некоторые из первых задокументированных попыток решить уравнения Эйнштейна в трех измерениях были сосредоточены на единственном Черная дыра Шварцшильда, который описывается статическим и сферически-симметричным решением уравнений поля Эйнштейна. Это отличный тестовый пример в численной теории относительности, потому что он имеет решение в замкнутой форме, так что численные результаты можно сравнивать с точным решением, потому что оно статично и потому что оно содержит одну из наиболее сложных в численном отношении особенностей теории относительности. физический необычность. Одной из первых групп, пытавшихся смоделировать это решение, был Anninos. и другие. в 1995 г.[11] В своей статье они отмечают, что

«Прогрессу в трехмерной численной теории относительности отчасти препятствует отсутствие компьютеров с достаточной памятью и вычислительной мощностью для выполнения расчетов трехмерного пространства-времени с хорошим разрешением».

Созревание поля

В последующие годы не только компьютеры стали более мощными, но и различные исследовательские группы разработали альтернативные методы повышения эффективности вычислений. В частности, что касается моделирования черных дыр, были разработаны два метода, позволяющие избежать проблем, связанных с существованием физических сингулярностей в решениях уравнений: (1) иссечение и (2) метод «прокола». Кроме того, группа Lazarus разработала методы использования ранних результатов краткосрочного моделирования, решающего нелинейные уравнения ADM, чтобы предоставить начальные данные для более стабильного кода, основанного на линеаризованных уравнениях, полученных из теория возмущений. В более общем смысле, адаптивное уточнение сетки методы, уже используемые в вычислительная гидродинамика были введены в область численной теории относительности.

Иссечение

В технике иссечения, впервые предложенной в конце 1990-х годов,[12] часть пространства-времени внутри горизонт событий окружающая сингулярность черной дыры просто не эволюционировала. Теоретически это не должно влиять на решение уравнений за пределами горизонта событий из-за принципа причинность и свойства горизонта событий (т.е. ничто физическое внутри черной дыры не может повлиять на физику за пределами горизонта). Таким образом, если кто-то просто не решает уравнения внутри горизонта, он все равно должен иметь возможность получить действительные решения за его пределами. Один «вырезает» внутреннюю часть, накладывая входящие граничные условия на границу, окружающую сингулярность, но внутри горизонта. Хотя реализация вырезания была очень успешной, метод имеет две незначительные проблемы. Во-первых, нужно быть осторожным с условиями координат. Хотя физические эффекты не могут распространяться изнутри наружу, координационные эффекты могут. Например, если условия координат были эллиптическими, изменения координат внутри могли бы мгновенно распространяться по горизонту. Тогда это означает, что для распространения координатных эффектов необходимы условия координат гиперболического типа с характеристическими скоростями, меньшими, чем у света (например, с использованием координатных условий гармонических координат). Вторая проблема заключается в том, что по мере движения черных дыр необходимо постоянно корректировать положение области вырезания, чтобы она двигалась вместе с черной дырой.

Техника иссечения разрабатывалась в течение нескольких лет, включая разработку новых калибровочных условий, которые повышали стабильность и работу, демонстрирующую способность областей вырезания перемещаться по вычислительной сетке.[13][14][15][16][17][18] Первая стабильная долгосрочная эволюция орбиты и слияние двух черных дыр с использованием этой техники было опубликовано в 2005 году.[19]

Проколы

В методе прокола решение вносится в аналитическую часть,[20] который содержит сингулярность черной дыры и численно построенную часть, которая тогда свободна от сингулярности. Это обобщение теории Брилла-Линдквиста. [21] предписание исходных данных для черных дыр в состоянии покоя и может быть обобщено на Боуэн-Йорк[22] предписание для вращения и перемещения исходных данных черной дыры. До 2005 года все опубликованные методы использования проколов требовали, чтобы координаты всех проколов оставались фиксированными во время моделирования. Конечно, черные дыры, расположенные рядом друг с другом, будут иметь тенденцию двигаться под действием силы тяжести, поэтому тот факт, что координаты точки прокола оставались фиксированными, означал, что сами системы координат стали «растянутыми» или «скрученными», и это обычно приводило к числовым неустойчивостям на каком-то этапе моделирования.


Прорвать

В 2005 году исследователи впервые продемонстрировали способность проколов перемещаться по системе координат, тем самым устранив некоторые из ранее существовавших проблем с этим методом. Это позволило точно определить долгосрочную эволюцию черных дыр.[19][23][24] Выбрав подходящие координатные условия и сделав грубое аналитическое предположение о полях вблизи сингулярности (поскольку никакие физические эффекты не могут распространяться из черной дыры, грубость приближений не имеет значения), можно получить численные решения проблемы двух черных дыр. дыры, вращающиеся вокруг друг друга, а также точное вычисление гравитационное излучение (рябь в пространстве-времени) испускаемые ими.

Проект Lazarus

Проект Lazarus (1998–2005) был разработан как методика после Большого Вызова для извлечения астрофизических результатов из недолговечных полных численных моделей двойных черных дыр. Он объединил методы аппроксимации до (постньютоновские траектории) и после (возмущения одиночных черных дыр) с полным численным моделированием, пытающимся решить уравнения поля общей теории относительности.[25] Все предыдущие попытки численно интегрировать в суперкомпьютерах уравнения Гильберта-Эйнштейна, описывающие гравитационное поле вокруг двойных черных дыр, привели к сбою программного обеспечения до того, как была завершена одна орбита.

Тем временем подход Лазаруса дал лучшее понимание проблемы двойной черной дыры и дал многочисленные и относительно точные результаты, такие как излучаемая энергия и угловой момент, испускаемый в последнем состоянии слияния,[26][27] импульс, излучаемый дырками с неравной массой,[28] и окончательная масса и вращение оставшейся черной дыры.[29] Этот метод также детально рассчитал гравитационные волны, излучаемые процессом слияния, и предсказал, что столкновение черных дыр является самым энергичным единичным событием во Вселенной, высвобождая больше энергии за доли секунды в форме гравитационного излучения, чем вся галактика в его время жизни.

Адаптивное уточнение сетки

Адаптивное уточнение сетки (AMR) как численный метод имеет корни, которые выходят далеко за рамки его первого применения в области численной теории относительности. Уточнение сетки впервые появляется в литературе по численной теории относительности в 1980-х годах благодаря работе Чоптуика в его исследованиях критический коллапс из скалярные поля.[30][31] Первоначальная работа была в одном измерении, но впоследствии она была расширена до двух измерений.[32] В двух измерениях AMR также применялся для изучения неоднородные космологии,[33][34] и к изучению Черные дыры Шварцшильда.[35] В настоящее время этот метод стал стандартным инструментом в численной теории относительности и используется для изучения слияния черных дыр и других компактных объектов в дополнение к распространению гравитационное излучение порожденные такими астрономическими событиями.[36][37]

Последние достижения

За последние несколько лет были опубликованы сотни научных работ, приведших к широкому спектру математических теорий относительности, гравитационных волн и астрофизических результатов для проблемы орбитальной черной дыры. Этот метод распространился на астрофизические двойные системы, включающие нейтронные звезды и черные дыры,[38] и множественные черные дыры.[39] Одно из самых удивительных предсказаний заключается в том, что слияние двух черных дыр может дать остаточной дыре скорость до 4000 км / с, что позволит ей покинуть любую известную галактику.[40][41] Моделирование также предсказывает огромное высвобождение гравитационной энергии в этом процессе слияния, составляющее до 8% от его общей массы покоя.[42]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2006-07-12. Получено 2005-12-01.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
  2. ^ Эйнштейн, Альберт. Der Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberiche der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Klasse fur Mathematik, Physik, und Technik.
  3. ^ Arnowitt, R .; Deser, S .; Миснер, К. У. (1962). «Динамика общей теории относительности». В Виттен, Л. (ред.). Гравитация: введение в современные исследования. Нью-Йорк: Вили. С. 227–265.
  4. ^ Hahn, S.G .; Линдквист, Р. У. (1964). «Задача двух тел в геометродинамике». Анна. Phys. 29 (2): 304–331. Bibcode:1964AnPhy..29..304H. Дои:10.1016/0003-4916(64)90223-4.
  5. ^ Смарр, Ларри (1975). Структура общей теории относительности на численном примере.. Кандидат наук. Диссертация, Техасский университет, Остин. Остин, Техас.
  6. ^ Смарр, Ларри (1977). «Пространство-время, создаваемое компьютерами: Черные дыры с гравитационным излучением». Акад. Sci. 302: 569–. Дои:10.1111 / j.1749-6632.1977.tb37076.x.
  7. ^ Эппли, К. (1975). Численная эволюция столкновения двух черных дыр. Кандидат наук. Диссертация, Принстонский университет. Принстон, Нью-Джерси.
  8. ^ Пиран, Т. (1978). «Цилиндрический общерелятивистский коллапс». Phys. Rev. Lett. 41 (16): 1085–1088. Bibcode:1978ПхРвЛ..41.1085П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.41.1085.
  9. ^ Stark, R.F .; Пиран, Т. (1985). «Гравитационно-волновое излучение при вращающемся гравитационном коллапсе». Phys. Rev. Lett. 55 (8): 891–894. Bibcode:1985ПхРвЛ..55..891С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.55.891.
  10. ^ Мацнер, Ричард А .; Seidel, H.E .; Шапиро, Стюарт Л .; Smarr, L .; Suen, W.-M .; Teukolsky, Saul A .; Winicour, J. (1995). «Геометрия столкновения черной дыры» (PDF). Наука. 270 (5238): 941–947. Bibcode:1995Научный ... 270..941М. Дои:10.1126 / science.270.5238.941.
  11. ^ Аннинос, Питер; Камарда, Карен; Массо, Жанна; Зайдель, Эдвард; Суен, Вай-Мо; Города, Джон (1995). «Трехмерная численная теория относительности: эволюция черных дыр». Phys. Ред. D. 52 (4): 2059–2082. arXiv:gr-qc / 9503025. Bibcode:1995ПхРвД..52.2059А. Дои:10.1103 / PhysRevD.52.2059.
  12. ^ Алькубьерре, Мигель; Бругманн, Бернд (2001). «Простое вырезание черной дыры в численной теории относительности 3 + 1». Phys. Ред. D. 63 (10): 104006. arXiv:gr-qc / 0008067. Bibcode:2001PhRvD..63j4006A. Дои:10.1103 / PhysRevD.63.104006.
  13. ^ Bona, C .; Masso, J .; Seidel, E .; Стела, Дж. (1995). «Новый формализм для численной теории относительности». Phys. Rev. Lett. 75 (4): 600–603. arXiv:gr-qc / 9412071. Bibcode:1995ПхРвЛ..75..600Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.75.600.
  14. ^ Cook, G. B .; и другие. (1998). «Ускоренная трехмерная эволюция черных дыр с удалением сингулярностей». Phys. Rev. Lett. 80 (12): 2512–2516. arXiv:gr-qc / 9711078. Bibcode:1998ПхРвЛ..80.2512С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.80.2512.
  15. ^ Алькубьерре, Мигель (2003). «Гиперболические срезы пространства-времени: избежание сингулярностей и калибровочные толчки». Классическая и квантовая гравитация. 20 (4): 607–623. arXiv:gr-qc / 0210050. Bibcode:2003CQGra..20..607A. Дои:10.1088/0264-9381/20/4/304.
  16. ^ Алькубьерре, Мигель; Бругманн, Бернд; Динер, Питер; Коппиц, Майкл; Поллни, Денис; Зайдель, Эдвард; Такахаши, Рёдзи (2003). «Калибровочные условия для долговременных численных эволюций черных дыр без вырезания». Phys. Ред. D. 67 (8): 084023. arXiv:gr-qc / 0206072. Bibcode:2003ПхРвД..67х4023А. Дои:10.1103 / PhysRevD.67.084023.
  17. ^ Бругманн, Бернд; Тихи, Вольфганг; Янсен, Нина (2004). «Численное моделирование орбиты черных дыр». Phys. Rev. Lett. 92 (21): 211101. arXiv:gr-qc / 0312112. Bibcode:2004ПхРвЛ..92у1101Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.92.211101.
  18. ^ Сапожник, Дейрдра; Смит, Кеннет; Сперхак, Ульрих; Лагуна, Пабло; Шнеттер, Эрик; Фиске, Дэвид (2003). «Перемещение черных дыр посредством вырезания сингулярностей». Учебный класс. Квантовая гравитация. 20 (16): 3729–3744. arXiv:gr-qc / 0301111. Bibcode:2003CQGra..20.3729S. Дои:10.1088/0264-9381/20/16/313.
  19. ^ а б Преториус, Ф. (2005). "Эволюция двоичного пространства-времени черной дыры". Phys. Rev. Lett. 95 (12): 121101. arXiv:gr-qc / 0507014. Bibcode:2005ПхРвЛ..95л1101П. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.121101. PMID  16197061.
  20. ^ Брандт, Стивен; Брейгманн, Бернд (1997). «Простое построение исходных данных для множественных черных дыр». Письма с физическими проверками. 78 (19): 3606–3609. arXiv:gr-qc / 9703066. Bibcode:1997ПхРвЛ..78.3606Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.78.3606.
  21. ^ Brill, D .; Линдквист, Р. (1963). «Энергия взаимодействия в геометростатике». Phys. Rev. 131 (1): 471–476. Bibcode:1963ПхРв..131..471Б. Дои:10.1103 / PhysRev.131.471.
  22. ^ Bowen, J .; Йорк, Дж. У. (1980). «Асимметричные по времени начальные данные для черных дыр и столкновений черных дыр». Phys. Ред. D. 21 (8): 2047–2056. Bibcode:1980ПхРвД..21.2047Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.21.2047.
  23. ^ Campanelli, M .; Lousto, C.O .; Marronetti, P .; Злоховер, Ю. (2006). «Точная эволюция движущихся по орбите двойных черных дыр без вырезания». Phys. Rev. Lett. 96 (11): 111101. arXiv:gr-qc / 0511048. Bibcode:2006PhRvL..96k1101C. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.111101. PMID  16605808.
  24. ^ Бейкер, Джон Дж .; Сентрелла, Жанна; Чой, Дэ-Иль; Коппиц, Майкл; ван Метер, Джеймс (2006). «Гравитационно-волновое извлечение из спиралевидной конфигурации сливающихся черных дыр». Phys. Rev. Lett. 96 (11): 111102. arXiv:gr-qc / 0511103. Bibcode:2006ПхРвЛ..96к1102Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.111102. PMID  16605809.
  25. ^ Baker, J .; Campanelli, M .; Lousto, C.O. (2002). «Проект Lazarus: прагматический подход к эволюции двойных черных дыр». Phys. Ред. D. 65 (4): 044001. arXiv:gr-qc / 0104063. Bibcode:2002ПхРвД..65д4001Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.65.044001.
  26. ^ Baker, J .; Brügmann, B .; Campanelli, M .; Lousto, C.O .; Такахаши Р. (2001). «Погружающиеся формы волн от вдохновляющих двойных черных дыр». Phys. Rev. Lett. 87 (12): 121103. arXiv:gr-qc / 0102037. Bibcode:2001ПхРвЛ..87л1103Б. Дои:10.1103 / PhysRevLett.87.121103. PMID  11580497.
  27. ^ Baker, J .; Campanelli, M .; Lousto, C.O .; Такахаши Р. (2002). «Моделирование гравитационного излучения от сливающихся двойных черных дыр». Phys. Ред. D. 65 (12): 124012. arXiv:Astro-ph / 0202469. Bibcode:2002ПхРвД..65л4012Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.65.124012.
  28. ^ Кампанелли, Мануэла (2005). «Понимание судьбы сливающихся сверхмассивных черных дыр». Учебный класс. Квантовая гравитация. 22 (10): S387 – S393. arXiv:Astro-ph / 0411744. Bibcode:2005CQGra..22S.387C. Дои:10.1088/0264-9381/22/10/034.
  29. ^ Baker, J .; Campanelli, M .; Lousto, C.O .; Такахаши Р. (2004). «Остаток слияния вращающихся двойных черных дыр». Phys. Ред. D. 69 (2): 027505. arXiv:astro-ph / 0305287. Bibcode:2004ПхРвД..69б7505Б. Дои:10.1103 / PhysRevD.69.027505.
  30. ^ Чоптуик, М. В. (1989). «Опыт использования адаптивного алгоритма уточнения сетки в численной теории относительности». В Evans, C .; Finn, L .; Хобилл, Д. (ред.). Границы численной теории относительности. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521366666.
  31. ^ Чоптуик, М. В. (1993). «Универсальность и масштабирование в гравитационном коллапсе безмассового скалярного поля». Phys. Rev. Lett. 70 (1): 9–12. Bibcode:1993ПхРвЛ..70 .... 9С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.70.9. PMID  10053245.
  32. ^ Чоптуик, Мэтью В.; Хиршманн, Эрик В .; Либлинг, Стивен Л .; Преториус, Франс (2003). «Критический коллапс безмассового скалярного поля в осесимметрии». Phys. Ред. D. 68 (4): 044007. arXiv:gr-qc / 0305003. Bibcode:2003ПхРвД..68д4007С. Дои:10.1103 / PhysRevD.68.044007.
  33. ^ Херн, Саймон Дэвид (1999). Численная теория относительности и неоднородные космологии. Кандидат наук. Диссертация, Кембриджский университет.
  34. ^ Белэнджер, З. Б. (2001). Адаптивное уточнение сетки в симметричном пространстве-времени T2. Магистерская работа, Оклендский университет.
  35. ^ Шнеттер, Эрик; Хоули, Скотт Х .; Хоук, Ян (2004). «Эволюция в трехмерной численной теории относительности с использованием фиксированного уточнения сетки». Учебный класс. Квантовая гравитация. 21 (6): 1465–1488. arXiv:gr-qc / 0310042. Bibcode:2004CQGra..21.1465S. Дои:10.1088/0264-9381/21/6/014.
  36. ^ Имбириба, Брено; Бейкер, Джон; Чой, Дэ-Иль; Сентрелла, Жанна; Фиске, Дэвид Р .; Браун, Дж. Дэвид; ван Метер, Джеймс Р .; Олсон, Кевин (2004). «Развитие прокалывающей черной дыры с фиксированным уточнением сетки». Phys. Ред. D. 70 (12): 124025. arXiv:gr-qc / 0403048. Bibcode:2004ПхРвД..70л4025И. Дои:10.1103 / PhysRevD.70.124025.
  37. ^ Фиске, Дэвид Р .; Бейкер, Джон Дж .; ван Метер, Джеймс Р .; Чой, Дэ-Иль; Сентрелла, Джоан М. (2005). «Выделение волновой зоны гравитационного излучения в трехмерной численной теории относительности». Phys. Ред. D. 71 (10): 104036. arXiv:gr-qc / 0503100. Bibcode:2005PhRvD..71j4036F. Дои:10.1103 / PhysRevD.71.104036.
  38. ^ Этьен, Захария Б .; Лю Юк Тунг; Шапиро, Стюарт Л .; Баумгарт, Томас В. (2009). «Релятивистское моделирование слияния черной дыры и нейтронной звезды: эффекты вращения черной дыры». Phys. Ред. D. 76 (4): 104021. arXiv:0812.2245. Bibcode:2009PhRvD..79d4024E. Дои:10.1103 / PhysRevD.79.044024.
  39. ^ Lousto, Карлос О.; Злоховер, Йосеф (2008). «Основы эволюции множественных черных дыр». Phys. Ред. D. 77 (2): 024034. arXiv:0711.1165. Bibcode:2008ПхРвД..77б4034Л. Дои:10.1103 / PhysRevD.77.024034.
  40. ^ Кампанелли, Мануэла; Lousto, Карлос О.; Злоховер, Йосеф; Мерритт, Дэвид (2007). «Максимальная гравитационная отдача». Phys. Rev. Lett. 98 (23): 231102. arXiv:gr-qc / 0702133. Bibcode:2007PhRvL..98w1102C. Дои:10.1103 / PhysRevLett.98.231102. PMID  17677894.
  41. ^ Хили, Джеймс; Herrmann, Франк; Мешать, Ян; Shoemaker, Deirdre M .; Лагуна, Пабло; Мацнер, Ричард А. (2009). «Суперпалки в гиперболических встречах двоичных черных дыр». Phys. Rev. Lett. 102 (4): 041101. arXiv:0807.3292. Bibcode:2009PhRvL.102d1101H. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.041101. PMID  19257409.
  42. ^ Кампанелли, Мануэла; Lousto, Карлос О.; Злоховер, Йосеф; Кришнан, Бадри; Мерритт, Дэвид (2007). «Спин-флип и прецессия в слияниях бинарных и черных дыр». Phys. Ред. D. 75 (6): 064030. arXiv:gr-qc / 0612076. Bibcode:2007ПхРвД..75ф4030С. Дои:10.1103 / PhysRevD.75.064030.

внешняя ссылка