Неравенство Ремеза - Remez inequality

В математика, то Неравенство Ремеза, открытый советским математиком Евгений Яковлевич Ремез (Ремез 1936 ), дает оценку нормы питания некоторых многочленов, причем оценка достигается Полиномы Чебышева.

Неравенство

Пусть σ - произвольное фиксированное положительное число. Определим класс многочленов π_п(σ) быть теми многочленами п из пя степень, для которой

${displaystyle |p(x)|leq 1}$

на некотором множестве меры ≥ 2, содержащемся в отрезке [−1, 1 + σ]. Тогда Неравенство Ремеза утверждает, что

${displaystyle sup _{pin pi _{n}(sigma )}|p|_{infty }=|T_{n}|_{infty }}$

куда Т_п(Икс) это Полином Чебышева степени п, а супремум берется на интервале [−1, 1 + σ].

Заметьте, что Т_п увеличивается на ${displaystyle [1,+infty ]}$, следовательно

${displaystyle |T_{n}|_{infty }=T_{n}(1+sigma ).}$

R.i. в сочетании с оценкой полиномов Чебышева влечет следующее следствие. J ⊂ р - конечный интервал, а E ⊂ J - произвольное измеримое множество, то

${displaystyle max _{xin J}|p(x)|leq left({frac {4,,{ extrm {mes}}J}{{ extrm {mes}}E}}ight)^{n}sup _{xin E}|p(x)|qquad qquad (*)}$

для любого полинома п степени п.

Расширения: лемма Назарова – Турана.

Неравенства, подобные (_*) доказаны для разных классов функций и известны как неравенства типа Ремеза. Одним из важных примеров является Назаров неравенство для экспоненциальных сумм (Назаров 1993 ):

Неравенство Назарова. Позволять

${displaystyle p(x)=sum _{k=1}^{n}a_{k}e^{lambda _{k}x}}$

быть экспоненциальная сумма (с произвольным λ_k ∈C), и разреши J ⊂ р - конечный интервал, E ⊂ J- произвольное измеримое множество. потом

${displaystyle max _{xin J}|p(x)|leq e^{max _{k}|Re lambda _{k}|,mathrm {mes} J}left({frac {C,,{ extrm {mes}}J}{{ extrm {mes}}E}}ight)^{n-1}sup _{xin E}|p(x)|~,}$

куда C > 0 - числовая константа.

В частном случае, когда λ_k являются чисто мнимыми и целыми, а подмножество E сам является интервалом, неравенство доказано Пал Туран и известна как лемма Турана.

Это неравенство распространяется и на ${displaystyle L^{p}(mathbb {T} ), 0leq pleq 2}$ следующим образом

${displaystyle |p|_{L^{p}(mathbb {T} )}leq e^{A(n-1){ extrm {mes}}(mathbb {T} setminus E)}|p|_{L^{p}(E)}}$

для некоторых А> 0 независимо от п, E, и п. Когда

${displaystyle mathrm {mes} E<1-{frac {log n}{n}}}$

аналогичное неравенство справедливо для п > 2. Для п= ∞ существует расширение на многомерные многочлены.

Доказательство: Применяя лемму Назарова к ${displaystyle E=E_{lambda }={x,: |p(x)|leq lambda }, lambda >0}$ приводит к

${displaystyle max _{xin J}|p(x)|leq e^{max _{k}|Re lambda _{k}|,mathrm {mes} J}left({frac {C,,{ extrm {mes}}J}{{ extrm {mes}}E_{lambda }}}ight)^{n-1}sup _{xin E_{lambda }}|p(x)|leq e^{max _{k}|Re lambda _{k}|,mathrm {mes} J}left({frac {C,,{ extrm {mes}}J}{{ extrm {mes}}E_{lambda }}}ight)^{n-1}lambda }$

таким образом

${displaystyle { extrm {mes}}E_{lambda }leq C,,{ extrm {mes}}Jleft({frac {lambda e^{max _{k}|Re lambda _{k}|,mathrm {mes} J}}{max _{xin J}|p(x)|}}ight)^{frac {1}{n-1}}}$

Теперь исправим набор ${displaystyle E}$ и выберите ${displaystyle lambda }$ такой, что ${displaystyle { extrm {mes}}E_{lambda }leq { frac {1}{2}}{ extrm {mes}}E}$, то есть

${displaystyle lambda =left({frac {{ extrm {mes}}E}{2Cmathrm {mes} J}}ight)^{n-1}e^{-max _{k}|Re lambda _{k}|,mathrm {mes} J}max _{xin J}|p(x)|}$

Обратите внимание, что это подразумевает:

1. ${displaystyle { extrm {mes}}Esetminus E_{lambda }geq { frac {1}{2}}{ extrm {mes}}E}$.
2. ${displaystyle forall xin Esetminus E_{lambda }:|p(x)|>lambda }$.

Сейчас же

${displaystyle {egin{aligned}int _{xin E}|p(x)|^{p},{mbox{d}}x&geq int _{xin Esetminus E_{lambda }}|p(x)|^{p},{mbox{d}}x[6pt]&geq lambda ^{p}{frac {1}{2}}{ extrm {mes}}E[6pt]&={frac {1}{2}}{ extrm {mes}}Eleft({frac {{ extrm {mes}}E}{2Cmathrm {mes} J}}ight)^{p(n-1)}e^{-pmax _{k}|Re lambda _{k}|,mathrm {mes} J}max _{xin J}|p(x)|^{p}[6pt]&geq {frac {1}{2}}{frac {{ extrm {mes}}E}{{ extrm {mes}}J}}left({frac {{ extrm {mes}}E}{2Cmathrm {mes} J}}ight)^{p(n-1)}e^{-pmax _{k}|Re lambda _{k}|,mathrm {mes} J}int _{xin J}|p(x)|^{p},{mbox{d}}x,end{aligned}}}$

что завершает доказательство.

Полиа неравенство

Одно из следствий R.i. это Полиа неравенство, что было доказано Георгий Полиа (Pólya 1928 ), и утверждает, что мера Лебега подуровня многочлена п степени п ограничена старшим коэффициентом LC (п) следующее:

${displaystyle { extrm {mes}}left{xin mathbb {R} ,mid ,|P(x)|leq aight}leq 4left({frac {a}{2mathrm {LC} (p)}}ight)^{1/n}~,quad a>0~.}$

Рекомендации

• Ремез, Э. Дж. (1936). "Sur une propriété des polynômes de Tchebyscheff". Comm. Inst. Sci. Харьков. 13: 93–95.
• Боянов, Б. (май 1993 г.). «Элементарное доказательство неравенства Ремеза». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 100 (5): 483–485. Дои:10.2307/2324304. JSTOR  2324304.
• Фонтес-Мерц, Н. (2006). «Многомерный вариант леммы Турана». Журнал теории приближений. 140 (1): 27–30.
• Назаров, Ф. (1993). «Локальные оценки экспоненциальных многочленов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности». Алгебра и анализ. 5 (4): 3–66.
• Назаров, Ф. (2000). Полная версия леммы Турана для тригонометрических многочленов на единичной окружности. Комплексный анализ, операторы и связанные темы. 113. С. 239–246.
• Поля, Г. (1928). "Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhängende Gebiete". Sitzungsberichte Akad. Берлин: 280–282.