Инвариант Решетихина – Тураева. - Reshetikhin–Turaev invariant

В математической области квантовая топология, то Инварианты Решетихина – Тураева. (RT-инварианты) являются семьей квантовые инварианты из ссылки в рамке Такие инварианты оснащенных зацеплений также порождают инварианты трехмерных многообразий через Хирургия Дена строительство. Эти инварианты были открыты Николай Решетихин и Владимир Тураев в 1991 году^[1], и должны были быть математической реализацией предложенных Виттеном инвариантов зацеплений и 3-многообразий с использованием квантовая теория поля ^[2].

Обзор

Чтобы получить RT-инвариант, нужно сначала иметь ${\displaystyle \Bbbk }$-линейный категория ленты под рукой. Каждый ${\displaystyle \Bbbk }$-линейная категория ленты снабжена схематическим исчислением, в котором морфизмы представлены определенными декорированными рамками диаграммы клубков, где начальный и конечный объекты представлены граничными компонентами клубка. В этом исчислении диаграмма связей (украшенная рамкой) ${\displaystyle L}$, будучи (украшенным обрамлением) клубком без границы, представляет собой эндоморфизм моноидальной идентичности (пустое множество в этом исчислении), или, другими словами, элемент ${\displaystyle \Bbbk }$. Этот элемент ${\displaystyle \Bbbk }$ - RT-инвариант, связанный с ${\displaystyle L}$. Для любого замкнутого ориентированного трехмерного многообразия ${\displaystyle M}$, существует ссылка в рамке ${\displaystyle L}$ в 3-х сферах ${\displaystyle S^{3}}$ так что ${\displaystyle M}$ гомеоморфно многообразию ${\displaystyle M_{L}}$ получен хирургическим путем ${\displaystyle S^{3}}$ вдоль ${\displaystyle L}$. Два таких многообразия ${\displaystyle M_{L}}$ и ${\displaystyle M_{L^{\prime }}}$ гомеоморфны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle L^{\prime }}$ связаны последовательностью Кирби движется. Решетихин и Тураев ^[1] использовал эту идею для построения инвариантов трехмерных многообразий путем объединения определенных RT-инвариантов в выражение, инвариантное относительно движений Кирби. Такие инварианты трехмерных многообразий известны как Инварианты Виттена – Решетихина – Тураева. (WRT-инварианты).

Примеры

Позволять ${\displaystyle A}$ быть лента алгебра Хопфа над полем ${\displaystyle \Bbbk }$ (можно взять, например, любой квантовая группа над ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Тогда категория ${\displaystyle {\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)}$, конечномерных представлений ${\displaystyle A}$, это ${\displaystyle \Bbbk }$-линейная категория ленты ^[3]. Существует схематическое исчисление, в котором морфизмы в ${\displaystyle {\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)}$ представлены схемами клубков в обрамлении, где каждый компонент связности украшен конечномерным представлением ${\displaystyle A}$. То есть, ${\displaystyle {\textbf {Rep}}^{\text{f.d.}}(A)}$ это ${\displaystyle \Bbbk }$-линейная лента категории. Таким образом, каждая ленточная алгебра Хопфа ${\displaystyle A}$ порождает инвариант оснащенных зацеплений, раскрашенных представлениями ${\displaystyle A}$ (RT-инвариант).

Для квантовой группы ${\displaystyle A=U_{q}({\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} ))}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} (q)}$, соответствующий RT-инвариант для зацеплений и 3-многообразий приводит к следующему семейству инвариантов зацеплений, появляющихся в теория мотков. Позволять ${\displaystyle L}$ быть рамочной ссылкой в ${\displaystyle S^{3}}$ с ${\displaystyle m}$ составные части. Для каждого ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$, позволять ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(S^{3},L)}$ обозначим RT-инвариант, полученный декорированием каждой компоненты ${\displaystyle L}$ уникальным ${\displaystyle N+1}$-мерное представление ${\displaystyle A}$. потом

${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(S^{3},L)=\langle e_{n},e_{n},\dots ,e_{n}\rangle _{L}\in \mathbb {C} (q)}$

где ${\displaystyle m}$-часть, ${\displaystyle \langle e_{n},e_{n},\dots ,e_{n}\rangle _{L}}$ обозначает многочлен Кауфмана зацепления ${\displaystyle L}$, где каждый из ${\displaystyle m}$ компоненты связаны идемпотентом Джонса – Венцля ${\displaystyle e_{n}}$, особый элемент Алгебра Темперли – Либа.

Чтобы определить соответствующий WRT-инвариант для трехмерных многообразий, прежде всего выберем ${\displaystyle t}$ быть либо ${\displaystyle 2r}$корень -й степени из единства или ${\displaystyle r}$-корень o – единицы с нечетным ${\displaystyle r}$. Предположить, что ${\displaystyle M_{L}}$ получается путем проведения операции Дена на созданной ссылке ${\displaystyle L}$. Тогда RT-инвариант для 3-многообразия ${\displaystyle M}$ определяется как

${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(M_{L})=\langle \omega _{r}\rangle _{O^{+}}^{b_{-}}\langle \omega _{r}\rangle _{O^{-}}^{b_{+}}\langle \omega _{r},\omega _{r},\dots ,\omega _{r}\rangle _{L}(t)\in \mathbb {C} ,}$

куда ${\displaystyle \omega _{r}=\sum _{n=0}^{r-2}\langle e_{n}\rangle _{O}e_{n}}$ это раскраска Кирби, ${\displaystyle O^{\pm }}$ развязаны с ${\displaystyle \pm 1}$ обрамление, и ${\displaystyle b_{\pm }}$ - количество положительных и отрицательных собственных значений матрицы зацепления ${\displaystyle L}$ соответственно. Грубо говоря, первая и вторая скобки обеспечивают ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M_{L})}$ инвариантен относительно сдувания вверх / вниз (первый ход Кирби), а третья скобка гарантирует, что ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M_{L})}$ инвариантен относительно скольжения ручки (второй ход Кирби).

Характеристики

Инварианты Виттена-Решетихина-Тураева для трехмерных многообразий обладают следующими свойствами:

1. ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M\#N)={\text{RT}}_{r}(M){\text{RT}}_{r}(N),}$ куда ${\displaystyle M\#N}$ обозначает связанная сумма из ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$
2. ${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(-M)={\overline {{\text{RT}}_{r}(M)}},}$ куда ${\displaystyle -M}$ многообразие ${\displaystyle M}$ с противоположной ориентацией, и ${\displaystyle {\overline {{\text{RT}}_{r}(M)}}}$ обозначает комплексное сопряжение ${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(M)}$
3. ${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(S^{3})=1}$

Эти три свойства совпадают со свойствами, которым удовлетворяют инварианты 3-многообразий, определенные Виттеном с помощью теории Черна – Саймонса (при определенной нормировке).^[4]

Открытые проблемы

Гипотеза об асимптотическом разложении Виттена^[5]

Выбирать ${\displaystyle t=e^{\frac {\pi i}{r}}}$. Гипотеза Виттена об асимптотическом разложении предполагает, что для любого 3-многообразия ${\displaystyle M}$, большой ${\displaystyle r}$-я асимптотика ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M)}$ регулируется вкладом плоских соединений.

Гипотеза: Есть константы ${\displaystyle d_{j}\in \mathbb {Q} }$ и ${\displaystyle b_{j}\in \mathbb {C} }$ (в зависимости от ${\displaystyle M}$) за ${\displaystyle j=0,1,\dots ,n}$ и ${\displaystyle a_{j}^{l}\in \mathbb {C} }$ за ${\displaystyle j=0,1,\dots ,n,l=1,2,\dots }$ такая, что асимптотическое разложение ${\displaystyle {\text{RT}}_{r}(M)}$ в пределе ${\displaystyle r\to \infty }$ дан кем-то

${\displaystyle \operatorname {RT} _{r}(M)\sim \sum _{j=0}^{n}e^{2\pi irq_{j}}r^{d_{j}}b_{j}\left(1+\sum _{\ell =1}^{\infty }a_{j}^{\ell }r^{-\ell }\right)}$

куда ${\displaystyle q_{0}=0,q_{1},\dots q_{n}}$ - конечное число различных значений функционала Черна – Саймонса на пространстве плоских ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$-соединения на ${\displaystyle M}$.

Гипотеза объема для инварианта Решетихина – Тураева ^[6]

Гипотеза Виттена об асимптотическом разложении предполагает, что при ${\displaystyle t=e^{\frac {\pi i}{r}}}$, RT-инварианты полиномиально растут ${\displaystyle r}$. Напротив, при ${\displaystyle t=e^{\frac {2\pi i}{r}}}$ со странным ${\displaystyle r}$, в 2015 г. К. Чен и Т. Янг предложили гипотезу объема для RT-инвариантов, которая, по сути, гласит, что RT-инварианты для гиперболических 3-многообразий экспоненциально растут в ${\displaystyle r}$ а скорость роста дает гиперболический объем и инварианты Черна – Саймонса для трехмерного многообразия.

Гипотеза:Позволять ${\displaystyle M}$ - замкнутое ориентированное трехмерное гиперболическое многообразие. Тогда для подходящего выбора аргументов

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }{\frac {4\pi }{r}}\log \left(\operatorname {RT} _{r}{\big (}M,e^{\frac {2\pi i}{r}}{\big )}\right)=\operatorname {Vol} (M)-i\operatorname {CS} (M)\mod \pi ^{2}i\mathbb {Z} }$

куда ${\displaystyle r}$ нечетное положительное целое число.

Рекомендации

1. Николай Решетихин, Тураев Владимир Григорьевич. «Инварианты трехмерных многообразий через многочлены зацепления и квантовые группы». Inventiones mathematicae 103.1 (1991): 547–597.
2. Виттен, Эдвард. «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Сообщения по математической физике 121.3 (1989): 351-399.
3. Тураев, Владимир Г. Квантовые инварианты узлов и трехмерных многообразий. Vol. 18. Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2016 г.
4. Виттен, Эдвард. «Квантовая теория поля и многочлен Джонса». Сообщения по математической физике 121.3 (1989): 351–399.
5. Андерсен, Йорген Эллегаард и Сорен Колд Хансен. «Асимптотика квантовых инвариантов для операций на узле восьмерки». Журнал теории узлов и ее разветвлений 15.04 (2006): 479–548.
6. Чен, Цинтао и Тянь Ян. «Объемные гипотезы для инвариантов Решетихина – Тураева и Тураева – Виро». Препринт arXiv arXiv: 1503.02547 (2015).

внешняя ссылка

• https://ncatlab.org/nlab/show/Reshetikhin-Turaev+construction