Время пребывания (статистика) - Residence time (statistics)

В статистике Время жительства это среднее время, необходимое для случайный процесс для достижения определенного граничного значения, обычно границы, далекой от среднего.

Определение

Предполагать $y (т)$ настоящий, скалярный случайный процесс с начальным значением $y (т 0) = y 0$ , иметь в виду $y средний$ и два критических значения ${y средний - y мин, y средний + y Максимум$ }, куда $y мин > 0$ и $y Максимум > 0$ . Определите первое время прохождения из $y (т)$ изнутри интервал $(- y мин, y Максимум)$ в качестве

{ displaystyle tau (y_ {0}) = inf {t geq t_ {0}: y (t) in {y _ { operatorname {avg}} -y _ { min}, y_ { operatorname {avg}} + y _ { max} } },}

где "inf" - это инфимум. Это наименьшее время после начального времени $т 0$ который $y (т)$ равна одному из критических значений, образующих границу интервала, в предположении $y 0$ находится в пределах интервала.

Потому что $y (т)$ случайным образом переходит от своего начального значения к границе, $τ (y 0)$ сам по себе случайная переменная. Среднее значение $τ (y 0)$ это Время жительства,^[1]^[2]

{ displaystyle { bar { tau}} (y_ {0}) = E [ tau (y_ {0}) mid y_ {0}].}

Для Гауссовский процесс и граница, далекая от среднего, время пребывания равно обратной величине частота превышения меньшего критического значения,^[2]

{ displaystyle { bar { tau}} = N ^ {- 1} ( min (y _ { min}, y _ { max})),}

где частота превышения $N$ является

{ Displaystyle N (y _ { max}) = N_ {0} e ^ {- y _ { max} ^ {2} / 2 sigma _ {y} ^ {2}},}

(1)

$σ y 2$ - дисперсия гауссова распределения,

{ displaystyle N_ {0} = { sqrt { frac { int _ {0} ^ { infty} {f ^ {2} Phi _ {y} (f) , df}} { int _ {0} ^ { infty} { Phi _ {y} (f) , df}}}},}

и $Φ y (ж)$ это спектральная плотность мощности гауссова распределения по частоте $ж$ .

Обобщение на несколько измерений

Предположим, что вместо скалярности $y (т)$ имеет размер $п$ , или же $y (т) \in ℝ п$ . Определить домен $Ψ \subset ℝ п$ который содержит $y средний$ и имеет гладкую границу $\partialΨ$ . В этом случае определите время первого прохождения $y (т)$ изнутри домена $Ψ$ в качестве

{ Displaystyle тау (y_ {0}) = inf {t geq t_ {0}: y (t) in partial Psi mid y_ {0} in Psi }.}

В этом случае эта нижняя грань - это наименьшее время, в которое $y (т)$ находится на границе $Ψ$ вместо того, чтобы быть равным одному из двух дискретных значений, предполагая $y 0$ внутри $Ψ$ . Среднее значение на этот раз - Время жительства,^[3]^[4]

{ displaystyle { bar { tau}} (y_ {0}) = operatorname {E} [ tau (y_ {0}) mid y_ {0}].}

Логарифмическое время пребывания

Логарифмическое время пребывания - это безразмерный изменение времени пребывания. Он пропорционален натуральному логарифму нормализованного времени пребывания. Отметив экспоненту в уравнении (1), логарифмическое время пребывания гауссовского процесса определяется как^[5]^[6]

{ displaystyle { hat { mu}} = ln left (N_ {0} { bar { tau}} right) = { frac { min (y _ { min}, y _ { max}) ^ {2}} {2 sigma _ {y} ^ {2}}}.}

Это тесно связано с другим безразмерным дескриптором этой системы, числом стандартных отклонений между границей и средним значением, $мин (y мин, y Максимум)/ σ y$ .

В целом коэффициент нормализации $N 0$ может быть трудно или невозможно вычислить, поэтому безразмерные величины могут быть более полезными в приложениях.

Смотрите также

Примечания

^ Меерков 1987 С. 1734–1735.
^ ^а ^б Ричардсон 2014, п. 2027 г.
^ Меерков 1986, п. 494.
^ Меерков 1987, п. 1734.
^ Ричардсон 2014, п. 2028 г.
^ Меерков 1986, п. 495, альтернативный подход к определению логарифмического времени пребывания и вычислению $N 0$