Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса - Reynolds-averaged Navier–Stokes equations

В Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса (или RANS уравнения) усреднены по времени^[а]уравнения движения для поток жидкости. Идея уравнений заключается в Разложение Рейнольдса, посредством чего мгновенная величина разлагается на ее усредненные по времени и флуктуирующие величины, идея, впервые предложенная Осборн Рейнольдс.^[1] Уравнения RANS в основном используются для описания турбулентные потоки. Эти уравнения могут использоваться с приближениями, основанными на знании свойств потока. турбулентность дать приближенные усредненные по времени решения Уравнения Навье – Стокса.Для стационарный течение несжимаемой Ньютоновская жидкость эти уравнения можно записать в виде Обозначения Эйнштейна в Декартовы координаты так как:

${\displaystyle \rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$

Левая часть этого уравнения представляет собой изменение среднего импульса жидкого элемента из-за неустойчивости средний расход а конвекция - средним потоком. Это изменение уравновешивается средней объемной силой, изотропным напряжением из-за поля среднего давления, вязкими напряжениями и кажущимся напряжением. ${\displaystyle \left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right)}$ из-за пульсирующего поля скорости, обычно называемого Напряжение Рейнольдса. Этот нелинейный член напряжения Рейнольдса требует дополнительного моделирования, чтобы закрыть уравнение RANS для решения, и привел к созданию множества различных модели турбулентности. Оператор среднего времени ${\displaystyle {\overline {.}}}$ это Оператор Рейнольдса.

Вывод уравнений RANS

Основной инструмент, необходимый для вывода уравнений RANS из мгновенного Уравнения Навье – Стокса это Разложение Рейнольдса. Разложение Рейнольдса относится к разделению переменной потока (например, скорости ${\displaystyle u}$) в среднюю (усредненную по времени) составляющую (${\displaystyle {\overline {u}}}$) и флуктуирующая составляющая (${\displaystyle u^{\prime }}$). Поскольку оператор среднего - это Оператор Рейнольдса, у него есть набор свойств. Одно из этих свойств состоит в том, что среднее значение флуктуирующей величины равно нулю. ${\displaystyle ({\bar {u^{\prime }}}=0)}$. Таким образом,

${\displaystyle u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u^{\prime }({\boldsymbol {x}},t)\,}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x,y,z)}$ - вектор положения. Некоторые авторы^[2] предпочитаю использовать ${\displaystyle U}$ вместо того ${\displaystyle {\bar {u}}}$ для среднего члена (поскольку черта сверху иногда используется для представления вектора). В этом случае колеблющийся член ${\displaystyle u^{\prime }}$ вместо этого представлен ${\displaystyle u}$. Это возможно, потому что два члена не появляются одновременно в одном уравнении. Во избежание путаницы обозначения ${\displaystyle u,{\bar {u}},{\mbox{ and }}u^{\prime }}$ будут использоваться для представления мгновенного, среднего и колеблющегося значений соответственно.

Свойства Операторы Рейнольдса полезны при выводе уравнений RANS. Используя эти свойства, уравнения движения Навье – Стокса, выраженные в тензорной записи, имеют вид (для несжимаемой ньютоновской жидкости):

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$

где ${\displaystyle f_{i}}$ - вектор, представляющий внешние силы.

Затем каждую мгновенную величину можно разделить на усредненные по времени и флуктуирующие компоненты, а итоговое уравнение усреднено по времени, ^[b]чтобы дать:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}}}={\bar {f_{i}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Уравнение импульса также можно записать как,^[c]

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}={\bar {f_{i}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}.}$

При дальнейших манипуляциях это дает,

${\displaystyle \rho {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+\rho {\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S_{ij}}}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]}$

где,${\displaystyle {\bar {S_{ij}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)}$- тензор средней скорости деформации.

Наконец, поскольку интегрирование по времени устраняет временную зависимость результирующих членов, производную по времени необходимо исключить, оставив:

${\displaystyle \rho {\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S_{ij}}}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].}$

Уравнения напряжения Рейнольдса

Уравнение эволюции во времени Напряжение Рейнольдса дан кем-то ^[3]:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$

Это уравнение очень сложное. Если ${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ прослеживается, кинетическая энергия турбулентности получается. последний член ${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$ - скорость турбулентной диссипации. Все модели RANS основаны на приведенном выше уравнении.

Заметки

1. Истинное среднее время (${\displaystyle {\bar {X}}}$) переменной (${\displaystyle x}$) определяется

   ${\displaystyle {\bar {X}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x\,dt.}$

   Чтобы это было четко определенным термином, предел (${\displaystyle {\bar {X}}}$) не должна зависеть от начального условия при ${\displaystyle t_{0}}$. В случае хаотическая динамическая система, которыми считаются уравнения в турбулентных условиях, это означает, что в системе может быть только один странный аттрактор, результат, который еще предстоит доказать для уравнений Навье-Стокса. Однако, если предположить, что предел существует (что имеет место для любой ограниченной системы, а скорости жидкости, конечно, есть), существует ${\displaystyle T}$ такая интеграция из ${\displaystyle t_{0}}$ к ${\displaystyle T}$ произвольно близко к среднему. Это означает, что для данных переходных процессов за достаточно большой промежуток времени среднее значение можно вычислить численно с некоторой небольшой ошибкой. Однако нет аналитического способа получить оценку сверху ${\displaystyle T}$.
2. Разделение каждой мгновенной величины на ее усредненную и флуктуирующую составляющие дает:

   ${\displaystyle {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}=0}$

   ${\displaystyle {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}+\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}=\left({\bar {f_{i}}}+f_{i}^{\prime }\right)-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

   Усреднение этих уравнений по времени дает,

   ${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}=0}$

   ${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}}+{\overline {\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}}}={\overline {\left({\bar {f_{i}}}+f_{i}^{\prime }\right)}}-{\frac {1}{\rho }}{\overline {\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}+\nu {\overline {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}.}$

   Обратите внимание, что нелинейные члены (например, ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$) можно упростить до,${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}={\overline {\left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right)}}={\overline {{\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}+{\bar {u_{i}}}u_{j}^{\prime }+u_{i}^{\prime }{\bar {u_{j}}}+u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}={\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}+{\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$
3. Это следует из уравнения сохранения массы, которое дает

   ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}=0}$

использованная литература

1. Рейнольдс, Осборн (1895). «К динамической теории несжимаемой вязкой жидкости и определению критерия». Философские труды Лондонского королевского общества A. 186: 123–164. Bibcode:1895RSPTA.186..123R. Дои:10.1098 / рста.1895.0004. JSTOR  90643.
2. Tennekes, H .; Ламли, Дж. Л. (1992). Первый курс в турбулентности (14. печат. Ред.). Кембридж, Массачусетс [u.a.]: MIT Press. ISBN  978-0-262-20019-6.
3. П. Я. Чоу (1945). «О корреляциях скоростей и решениях уравнений турбулентных колебаний». Кварта. Appl. Математика. 3: 38–54. Дои:10.1090 / qam / 11999.