Осадка: функция гребня - Draft:Ridge function

Коньковая функция - это любая функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ что можно записать как композицию одномерный функция с аффинное преобразование, то есть: ${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=g({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}})}$ для некоторых ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\in \mathbb {R} ^{d}}$Использование термина «гребневая функция» часто приписывается Б.Ф. Логану и Л.А. Шеппу.^[1]

Актуальность

Функция гребня не подвержена проклятие размерности, что делает его инструментом в различных задачах оценивания. Это прямой результат того факта, что ридж-функции постоянны в ${\displaystyle d-1}$ направления: Пусть ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{d-1}}$ быть ${\displaystyle d-1}$ независимые векторы, ортогональные ${\displaystyle a}$, такие, что эти векторы охватывают ${\displaystyle d-1}$ размеры. Затем

${\displaystyle f\left({\boldsymbol {x}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\cdot {\boldsymbol {a}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}0\right)=g({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}})=f({\boldsymbol {x}})}$

для всех ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ,1\leq i<d}$Другими словами, любое смещение ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$ в направлении, перпендикулярном ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$ не меняет значение ${\displaystyle f}$.

Функции конька играют важную роль, среди прочего, преследование проекции, обобщенные линейные модели, и, как функции активации в нейронные сети. Для обзора функций гребня см.^[2]

Рекомендации

1. Logan, B.F .; Шепп, Л.А. (1975). «Оптимальное восстановление функции по ее проекциям». Математический журнал герцога. 42 (4): 645–659. Дои:10.1215 / S0012-7094-75-04256-8.
2. Конягин, С.В .; Кулешов, А.А .; Майоров, В. (2018). «Некоторые вопросы теории ридж-функций». Proc. Стеклова Математика. 301: 144–169. Дои:10.1134 / S0081543818040120.