Длина веревки - Ropelength

В физическая теория узлов, каждая реализация связь или же морской узел имеет связанный длина веревки. Интуитивно понятно, что это минимальная длина идеально гибкой веревки, которая необходима для завязывания данного звена или узла. Узлы и звенья, минимизирующие длину веревки, называются идеальные узлы и идеальные ссылки соответственно.

Числовое приближение идеального трилистника.
Числовое приближение идеала трилистник.

Определение

Длина веревки изгиба узла C определяется как отношение , где Лен (C) - длина C и τ (C) это толщина ссылки, определеннойC.

Минимизаторы длины каната

Один из самых ранних вопросов теории узлов был сформулирован следующим образом:

Могу ли я завязать узел на веревке длиной в фут и толщиной в один дюйм?

В наших терминах мы спрашиваем, существует ли узел с длиной веревки 12. На этот вопрос был дан ответ, и было показано, что это невозможно: аргумент, использующий квадрисканты показывает, что длина веревки любого нетривиального узла должна быть не менее 15,66.[1] Однако поиск ответа стимулировал множество исследований как теоретических, так и вычислительных. Было показано, что для каждого типа звена существует минимизатор длины троса, хотя он только класса C 1, 1.[2][3] Для простейшего нетривиального узла, узла-трилистника, компьютерное моделирование показало, что минимальная длина веревки составляет не более 16,372.[1]

Зависимость длины каната от других инвариантов узлов

Был проведен обширный поиск взаимосвязи между длиной веревки и другими инвариантами узлов. Например, известны оценки асимптотической зависимости длины каната от длины каната. номер перехода узла. Было показано, что

и

для узла C с числом пересечения Cr (C) и длины троса L(C), где О и Ω являются примерами нотация большой O и большие обозначения Омеги, соответственно.

Нижняя граница (большая Омега) показана двумя семействами ((k, k−1) торические узлы и k-Hopf links), которые реализуют эту границу. Бывшая верхняя граница O (Cr (C))3/2 было показано с использованием гамильтоновых циклов в графах, вложенных в кубическую целочисленную решетку.[4] Текущая лучшая почти линейная верхняя граница была установлена ​​с помощью аргумента «разделяй и властвуй», чтобы показать, что минимальные проекции узлов могут быть вложены как плоские графы в кубическую решетку.[5] Однако до сих пор никто не наблюдал семейства узлов со сверхлинейной зависимостью от длины. L(C)> O (Cr (СК)) и предполагается, что верхняя оценка на самом деле линейна.[6]

Длина каната как инвариант узла

Длину веревки можно превратить в инвариант узла путем определения длины веревки типа узла как минимальной длины веревки для всех реализаций этого типа узла. Пока этот инвариант непрактичен, так как мы не определили этот минимум для большинства узлов.

Рекомендации

  1. ^ а б Денн, Элизабет; Дяо, Юаньань; Салливан, Джон М. (2006), «Квадрисканты дают новые нижние оценки длины веревки узла», Геометрия и топология, 10: 1–26, arXiv:математика / 0408026, Дои:10.2140 / gt.2006.10.1, МИСТЕР  2207788.
  2. ^ Gonzalez, O .; Maddocks, J. H .; Schuricht, F .; фон дер Мозель, Х. (2002), "Глобальная кривизна и самоконтакт нелинейно упругих кривых и стержней", Вариационное исчисление и уравнения с частными производными, 14 (1): 29–68, Дои:10.1007 / s005260100089, МИСТЕР  1883599
  3. ^ Кантарелла, Джейсон; Куснер, Роберт Б .; Салливан, Джон М. (2002), «О минимальной длине троса узлов и звеньев» (PDF), Inventiones Mathematicae, 150 (2): 257–286, arXiv:математика / 0103224, Bibcode:2002InMat.150..257C, Дои:10.1007 / s00222-002-0234-у, МИСТЕР  1933586.
  4. ^ Дяо, Юаньань; Эрнст, Клаус; Ю, Синсин (2004), «Проекции гамильтоновых узлов и длины толстых узлов» (PDF), Топология и ее приложения, 136 (1–3): 7–36, Дои:10.1016 / S0166-8641 (03) 00182-2, МИСТЕР  2023409.
  5. ^ Дяо, Юаньань; Эрнст, Клаус; Пор, Аттила; Зиглер, Ута (2019), «Длины веревок узлов почти линейны с точки зрения их числа пересечений», Журнал теории узлов и ее разветвлений, 28 (14): 1950085.
  6. ^ Дяо, Юаньань; Эрнст, Клаус (2004), «Реализуемые мощности длин веревок с помощью нетривиальных семейств узлов» (PDF), JP Журнал геометрии и топологии, 4 (2): 197–208, МИСТЕР  2105812, заархивировано из оригинал (PDF) на 2005-02-15.