Круглая функция - Round function

«Функция округления» может также относиться к округление.

В топология И в исчисление, а круглая функция это скалярная функция ${displaystyle M o {mathbb {R} }}$, через многообразие ${displaystyle M}$, чей критические точки образуют один или несколько связанные компоненты, каждый гомеоморфный к круг ${displaystyle S^{1}}$, также называемые критическими циклами. Это частные случаи Функции Морса-Ботта.

Черный кружок в одной из критических петель.

Например

Например, пусть ${displaystyle M}$ быть тор. Позволять

${displaystyle K=(0,2pi ) imes (0,2pi ).,}$

Тогда мы знаем, что карта

${displaystyle Xcolon K o {mathbb {R} }^{3},}$

данный

${displaystyle X( heta ,phi )=((2+cos heta )cos phi ,(2+cos heta )sin phi ,sin heta ),}$

является параметризацией почти всех ${displaystyle M}$. Теперь через проекцию ${displaystyle pi _{3}colon {mathbb {R} }^{3} o {mathbb {R} }}$мы получаем ограничение

${displaystyle G=pi _{3}|_{M}colon M o {mathbb {R} },( heta ,phi )mapsto sin heta ,}$

${displaystyle G=G( heta ,phi )=sin heta }$ - функция, критические множества которой определяются

${displaystyle {m {grad}} G( heta ,phi )=left({{partial }G over {partial } heta },{{partial }G over {partial }phi }ight)!left( heta ,phi ight)=(0,0),,}$

это тогда и только тогда, когда ${displaystyle heta ={pi over 2}, {3pi over 2}}$.

Эти два значения для ${displaystyle heta }$ дать критические наборы

${displaystyle X({pi /2},phi )=(2cos phi ,2sin phi ,1),}$

${displaystyle X({3pi /2},phi )=(2cos phi ,2sin phi ,-1),}$

которые представляют собой две экстремальные окружности над тором ${displaystyle M}$.

Обратите внимание, что Гессен для этой функции

${displaystyle {m {hess}}(G)={egin{bmatrix}-sin heta &0�&0end{bmatrix}}}$

что ясно проявляет себя как ранг ${displaystyle {m {hess}}(G)}$ равняется единице на помеченных кружках, что делает критическую точку вырожденной, т. е. показывая, что критические точки не изолированы.

Сложность раунда

Подражая L – S теории категорий можно определить круглая сложность спрашивая, существуют ли круглые функции на многообразиях и / или для минимального количества критических циклов.

Рекомендации

• Сирсма и Химшиасвили, О минимальных круглых функциях, Препринт 1118, Математический факультет Утрехтского университета, 1999 г., стр.18.[1]. Обновление на [2]