Уравнение Зауэрбрея - Sauerbrey equation

В Уравнение Зауэрбрея был разработан немецким Гюнтер Зауэрбрей в 1959 г., работая над докторской диссертацией в Технический университет Берлина, Германия. Это метод корреляции изменений частоты колебаний пьезоэлектрический кристалл с нанесенной на него массой. Одновременно он разработал метод измерения характеристической частоты и ее изменений, используя кристалл в качестве компонента, определяющего частоту в цепи генератора. Его метод продолжает использоваться в качестве основного инструмента в кварцевые микровесы (QCM) экспериментов по преобразованию частоты в массу и применим почти во всех приложениях.

Уравнение выводится путем рассмотрения осажденной массы, как если бы она была продолжением толщины нижележащего кварца.^[1][2] Из-за этого корреляция массы и частоты (как определено уравнением Зауэрбрея) ​​в значительной степени не зависит от геометрии электрода. Это дает возможность определять массу без калибровки, что делает установку желательной с точки зрения затрат и времени.

Уравнение Зауэрбрея определяется как:

${displaystyle Delta f=-{frac {2f_{0}^{2}}{A{sqrt {ho _{q}mu _{q}}}}}Delta m}$

куда:

${displaystyle f_{0}}$ – Резонансная частота основной моды (Гц)

${displaystyle Delta f}$ - нормализованное изменение частоты (Гц)

${displaystyle Delta m}$ - Изменение массы (г)

${displaystyle A}$ – Пьезоэлектрически активная площадь кристалла (Площадь между электродами, см²)

${displaystyle ho _{q}}$ – Плотность кварца (${displaystyle ho _{q}}$ = 2,648 г / см³)

${displaystyle mu _{q}}$ – Модуль сдвига кварца для кристалла АТ-огранки (${displaystyle mu _{q}}$ = 2,947x10¹¹ г · см⁻¹· С⁻²)

Нормализованная частота ${displaystyle Delta f}$ представляет собой номинальный сдвиг частоты этого режима, деленный на его номер режима (по умолчанию большинство программ выводит нормализованный сдвиг частоты). Поскольку пленка рассматривается как увеличение толщины, уравнение Зауэрбрея применимо только к системам, в которых выполняются следующие три условия: нанесенная масса должна быть жесткой, нанесенная масса должна быть равномерно распределена и частота изменения ${displaystyle Delta f/f}$ < 0.05.^[3]

Если изменение частоты больше 5%, то есть ${displaystyle Delta f/f}$ > 0,05, для определения изменения массы необходимо использовать метод Z-соответствия.^[2]Формула для метода Z-соответствия:^[2]

${displaystyle {frac {Delta m}{A}} ={frac {N_{q}ho _{q}}{pi Zf_{L}}} an ^{-1}left[Z an left(pi {frac {f_{U}-f_{L}}{f_{U}}}ight)ight]}$

Уравнение 2 - метод Z-соответствия

${displaystyle f_{L}}$ - Частота нагруженного кристалла (Гц)

${displaystyle f_{U}}$ - Частота ненагруженного кристалла, т.е.резонансная частота (Гц)

${displaystyle N_{q}}$ - Частотная постоянная для кварцевого кристалла АТ-среза (1,668x10¹³Гц · Å)

${displaystyle Delta m}$ - Изменение массы (г)

${displaystyle A}$ - Пьезоэлектрически активная площадь кристалла (Площадь между электродами, см²)

${displaystyle ho _{q}}$ - Плотность кварца (${displaystyle ho _{q}}$ = 2,648 г / см³)

${displaystyle Z}$ - Z-фактор пленочного материала ${displaystyle ={sqrt {left({frac {ho _{q}mu _{q}}{ho _{f}mu _{f}}} ight)}}}$

${displaystyle ho _{f}}$ - Плотность пленки (Варьируется: единицы измерения г / см³)

${displaystyle mu _{q}}$ - Модуль сдвига кварца (${displaystyle mu _{q}}$ = 2,947x10¹¹ г · см⁻¹· С⁻²)

${displaystyle mu _{f}}$ - Модуль сдвига пленки (Варьируется: единицы измерения г · см⁻¹· С⁻²)

Ограничения

Уравнение Зауэрбрея было разработано для колебаний в воздухе и применимо только к твердым массам, прикрепленным к кристаллу. Было показано, что измерения микровесов кристалла кварца могут быть выполнены в жидкости, и в этом случае вязкость при этом будет наблюдаться соответствующее уменьшение резонансной частоты:

${displaystyle Delta f={- f_{0}^{3/2}(eta _{l}ho _{l}/pi ho _{q}mu _{q}n)^{1/2}}}$

куда ${displaystyle ho _{l}}$ плотность жидкости, ${displaystyle eta _{l}}$ - вязкость жидкости, а ${displaystyle n}$ это номер режима.^[4]

Рекомендации

1. Зауэрбрей, Гюнтер Ханс (Апрель 1959 г.) [1959-02-21]. "Verwendung von Schwingquarzen zur Wägung dünner Schichten und zur Mikrowägung" (PDF). Zeitschrift für Physik (на немецком). Springer-Verlag. 155 (2): 206–222. Bibcode:1959ZPhy..155..206S. Дои:10.1007 / BF01337937. ISSN  0044-3328. S2CID  122855173. В архиве (PDF) из оригинала на 26.02.2019. Получено 2019-02-26. (NB. Это было частично представлено на Physikertagung в Гейдельберге в октябре 1957 г.)
2. QCM100 - Теория и калибровка микровесов на кристаллах кварца (PDF), Стэнфордские исследовательские системы / Lambda Photometrics Limited, в архиве (PDF) из оригинала от 27.02.2019, получено 2019-02-27
3. Шривастава, Асим Кумар; Сакхивел, Паланикумаран (январь – февраль 2001 г.). «Исследование микровесов с кварцевым кристаллом для определения атомарного кислорода в плазменно-зольных приборах». Журнал вакуумной науки и технологий A: вакуум, поверхности и пленки. 19 (1): 97–100. Bibcode:2001JVSTA..19 ... 97S. Дои:10.1116/1.1335681. Получено 2019-02-27.
4. Канадзава, К. Кейджи; Гордон II, Джозеф Г. (июль 1985 г.). «Частота контакта кварцевых микровесов с жидкостью». Аналитическая химия. 57 (8): 1770–1771. Дои:10.1021 / ac00285a062.