Длина рассеяния - Scattering length - Wikipedia

В длина рассеяния в квантовая механика описывает низкоэнергетические рассеяние. Для потенциалов, которые распадаются быстрее, чем ${\displaystyle 1/r^{3}}$ в качестве ${\displaystyle r\to \infty }$, он определяется как следующие низкоэнергетические предел:

${\displaystyle \lim _{k\to 0}k\cot \delta (k)=-{\frac {1}{a}}\;,}$

куда ${\displaystyle a}$ - длина рассеяния, ${\displaystyle k}$ это волновое число, и ${\displaystyle \delta (k)}$ это сдвиг фазы исходящей сферической волны. Эластичный поперечное сечение, ${\displaystyle \sigma _{e}}$, при низких энергиях определяется исключительно длиной рассеяния:

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\sigma _{e}=4\pi a^{2}\;.}$

Общая концепция

Когда медленная частица рассеивается рассеивателем с малым радиусом действия (например, примесью в твердом теле или тяжелой частице), она не может разрешить структуру объекта, поскольку его длина волны де Бройля очень долго. По идее, тогда не должно быть важно, что именно потенциал ${\displaystyle V(r)}$ один рассеивается, но только так, как потенциал выглядит на больших масштабах. Формальный способ решить эту проблему - сделать частичное волновое расширение (несколько аналогично мультипольное расширение в классическая электродинамика ), где один разлагается в угловой момент составляющие уходящей волны. При очень низкой энергии падающая частица не видит никакой структуры, поэтому в самом низком порядке у нее есть только исходящая сферическая волна, называемая s-волной по аналогии с атомная орбиталь по угловому моменту квантовое число л= 0. При более высоких энергиях также необходимо учитывать p- и d-волны (л= 1,2) рассеяние и так далее.

Идея описания низкоэнергетических свойств с помощью нескольких параметров и симметрий очень сильна, а также лежит в основе концепции перенормировка.

Понятие длины рассеяния можно распространить также на потенциалы, которые затухают медленнее, чем ${\displaystyle 1/r^{3}}$ в качестве ${\displaystyle r\to \infty }$. Известный пример, имеющий отношение к протон-протонному рассеянию, - это длина рассеяния, модифицированная кулонами.

Пример

В качестве примера того, как вычислить s-волну (т.е. угловой момент ${\displaystyle l=0}$) длины рассеяния для данного потенциала смотрим на бесконечно отталкивающую сферическую потенциальная яма радиуса ${\displaystyle r_{0}}$ в 3-х измерениях. Радиальный Уравнение Шредингера (${\displaystyle l=0}$) вне ямы точно так же, как для свободной частицы:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

где потенциал жесткого ядра требует, чтобы волновая функция ${\displaystyle u(r)}$ исчезает в ${\displaystyle r=r_{0}}$, ${\displaystyle u(r_{0})=0}$Решение легко найти:

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$.

Здесь ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$ и ${\displaystyle \delta _{s}=-k\cdot r_{0}}$ это s-волна сдвиг фазы (разность фаз между приходящей и уходящей волной), которая фиксируется граничным условием ${\displaystyle u(r_{0})=0}$; ${\displaystyle A}$ - произвольная нормировочная константа.

Можно показать, что в целом ${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})}$ для маленьких ${\displaystyle k}$ (т. е. низкоэнергетическое рассеяние). Параметр ${\displaystyle a_{s}}$ размерной длины определяется как длина рассеяния. Поэтому для нашего потенциала у нас есть ${\displaystyle a=r_{0}}$, другими словами, длина рассеяния для твердой сферы - это просто радиус. (В качестве альтернативы можно было бы сказать, что произвольный потенциал с длиной рассеяния s-волны ${\displaystyle a_{s}}$ обладает такими же низкоэнергетическими рассеивающими свойствами, что и твердая сфера радиуса ${\displaystyle a_{s}}$.) Чтобы связать длину рассеяния с физическими наблюдаемыми, которые могут быть измерены в эксперименте по рассеянию, нам нужно вычислить поперечное сечение ${\displaystyle \sigma }$. В теория рассеяния можно записать асимптотическую волновую функцию в виде (мы предполагаем, что в начале координат имеется рассеиватель конечного диапазона, а вдоль ${\displaystyle z}$-ось):

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

куда ${\displaystyle f}$ это амплитуда рассеяния. Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики дифференциальное сечение дан кем-то ${\displaystyle d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}}$ (вероятность в единицу времени разлететься в сторону ${\displaystyle \mathbf {k} }$). Если рассматривать только рассеяние s-волн, то дифференциальное сечение не зависит от угла ${\displaystyle \theta }$, а общая сечение рассеяния просто ${\displaystyle \sigma =4\pi |f|^{2}}$. S-волновая часть волновой функции ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ проецируется с помощью стандартного разложения плоской волны по сферическим волнам и Полиномы Лежандра ${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$:

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}$

Сопоставив ${\displaystyle l=0}$ компонент ${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ к s-волновому решению ${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r}$ (где мы нормализуем ${\displaystyle A}$ так что приходящая волна ${\displaystyle e^{ikz}}$ имеет предварительный множитель единицы):

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

Это дает:

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

Смотрите также

• Псевдопотенциал Ферми
• Длина рассеяния нейтронов

Рекомендации

• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (2003). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Амстердам: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  0-7506-3539-8.