Лемма Шрейерса - Schreiers lemma - Wikipedia

В математике Лемма Шрайера это теорема в теория групп используется в Алгоритм Шрайера – Симса а также для поиска презентация из подгруппа.

Заявление

Предполагать ${\displaystyle H}$ это подгруппа из ${\displaystyle G}$, который конечно порожден порождающим множеством ${\displaystyle S}$, то есть, грамм = ${\displaystyle \scriptstyle \langle S\rangle }$.

Позволять ${\displaystyle R}$ быть правым поперечный из ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$. Другими словами, ${\displaystyle R}$ это (образ) раздел факторной карты ${\displaystyle G\to H\backslash G}$, куда ${\displaystyle H\backslash G}$ обозначает набор правые классы из ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$.

Мы даем определение, которое дает ${\displaystyle g}$∈${\displaystyle G}$, ${\displaystyle {\overline {g}}}$ выбранный представитель в трансверсальной ${\displaystyle R}$ сословия ${\displaystyle Hg}$, то есть,

${\displaystyle g\in H{\overline {g}}.}$

потом ${\displaystyle H}$ порождается множеством

${\displaystyle \{rs({\overline {rs}})^{-1}|r\in R,s\in S\}}$

Пример

Установим очевидный факт, что группа Z₃ = Z/3Z действительно цикличен. Через Теорема Кэли, Z₃ является подгруппой симметричная группа S₃. Сейчас же,

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{e,(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}}$

${\displaystyle S_{3}=\{e,(1\ 2),(1\ 3),(2\ 3),(1\ 2\ 3),(1\ 3\ 2)\}}$

куда ${\displaystyle e}$ - тождественная перестановка. Примечание S₃ = ${\displaystyle \scriptstyle \langle }${ s₁=(1 2), s₂ = (1 2 3) }${\displaystyle \scriptstyle \rangle }$.

Z₃ имеет всего два смежных класса, Z₃ и S₃ \ Z₃, поэтому выбираем трансверсаль { т₁ = е, т₂= (1 2)}, и имеем

${\displaystyle {\begin{matrix}t_{1}s_{1}=(1\ 2),&\quad {\text{so}}\quad &{\overline {t_{1}s_{1}}}=(1\ 2)\\t_{1}s_{2}=(1\ 2\ 3),&\quad {\text{so}}\quad &{\overline {t_{1}s_{2}}}=e\\t_{2}s_{1}=e,&\quad {\text{so}}\quad &{\overline {t_{2}s_{1}}}=e\\t_{2}s_{2}=(2\ 3),&\quad {\text{so}}\quad &{\overline {t_{2}s_{2}}}=(1\ 2).\\\end{matrix}}}$

Ну наконец то,

${\displaystyle t_{1}s_{1}{\overline {t_{1}s_{1}}}^{-1}=e}$

${\displaystyle t_{1}s_{2}{\overline {t_{1}s_{2}}}^{-1}=(1\ 2\ 3)}$

${\displaystyle t_{2}s_{1}{\overline {t_{2}s_{1}}}^{-1}=e}$

${\displaystyle t_{2}s_{2}{\overline {t_{2}s_{2}}}^{-1}=(1\ 2\ 3).}$

Таким образом, по лемме Шрайера о подгруппах {e, (1 2 3)} порождает Z₃, но наличие идентификатора в генераторной установке является избыточным, поэтому мы можем удалить его, чтобы получить другую генераторную установку для Z₃, {(1 2 3)} (как и ожидалось).

Рекомендации

• Сересс, А. Алгоритмы группы перестановок. Издательство Кембриджского университета, 2002.