Интегральная формула Шварца - Schwarz integral formula

В комплексный анализ, раздел математики, Интегральная формула Шварца, названный в честь Герман Шварц, позволяет восстановить голоморфная функция, вплоть до мнимая константа, от граничных значений ее действительной части.

Единичный диск

Позволять ж - функция, голоморфная на замкнутом единичном круге {z ∈ C | |z| ≤ 1}. потом

${displaystyle f(z)={frac {1}{2pi i}}oint _{|zeta |=1}{frac {zeta +z}{zeta -z}}{ ext{Re}}(f(zeta )),{frac {dzeta }{zeta }}+i{ ext{Im}}(f(0))}$

для всех |z| < 1.

Верхняя полуплоскость

Позволять ж - функция, голоморфная на замкнутой верхняя полуплоскость {z ∈ C | Я(z) ≥ 0} такое, что для некоторого α > 0, |z^α ж(z) | ограничена на замкнутой верхней полуплоскости. потом

${displaystyle f(z)={frac {1}{pi i}}int _{-infty }^{infty }{frac {u(zeta ,0)}{zeta -z}},dzeta ={frac {1}{pi i}}int _{-infty }^{infty }{frac {{ ext{Re}}(f)(zeta +0i)}{zeta -z}},dzeta }$

для всех Im (z) > 0.

Обратите внимание, что по сравнению с версией на единичном диске в этой формуле нет произвольной константы, добавленной к интегралу; это связано с тем, что дополнительное условие затухания делает условия для этой формулы более жесткими.

Следствие интегральной формулы Пуассона

Формула следует из Интегральная формула Пуассона применительно кты:^[1][2]

${displaystyle u(z)={frac {1}{2pi }}int _{0}^{2pi }u(e^{ipsi })operatorname {Re} {e^{ipsi }+z over e^{ipsi }-z},dpsi qquad { ext{for }}|z|<1.}$

С помощью конформных отображений формулу можно обобщить на любое односвязное открытое множество.

Примечания и ссылки

1. Левин, Б.Ю .; Левин Борис Иванович Ковлевич; Левин, Борис Я; Любарский Ю. Любарский, Ю; Содин, М .; Ткаченко, В. (1996). Лекции по целым функциям - Поиск книг Google. ISBN  9780821802823. Получено 2008-06-26. Отсутствует | author1 = (Помогите)
2. Вывод без обращения к формуле Пуассона можно найти по адресу: http://planetmath.org/encyclopedia/PoissonFormula.html

• Альфорс, Ларс В. (1979), Комплексный анализ, Третье издание, McGraw-Hill, ISBN  0-07-085008-9
• Реммерт, Рейнхольд (1990), Теория сложных функций, Второе издание, Springer, ISBN  0-387-97195-5
• Сафф, Э. Б. и А. Д. Снайдер (1993), Основы комплексного анализа для математики, естествознания и инженерии, Второе издание, Прентис Холл, ISBN  0-13-327461-6